Ta có: `m^2+m+1`

`=m^2+2.m. 1/ 2 + 1/ 4 + 3/ 4`

`=(m+ 1/ 2)^2+3/ 4 \ge 3/ 4 \forall m`

`\qquad (m^2+m+1)x-(m^2-m+1)=0`

`<=>(m^2+m+1)x=(m^2-m+1)`

`<=>x={m^2-m+1}/{m^2+m+1}`

`a)` Ta có:

`3-x =3- {m^2-m+1}/{m^2+m+1}`

`={3(m^2+m+1)-(m^2-m+1)}/{m^2+m+1}`

`={2m^2+4m+2}/{m^2+m+1}`

`={2(m^2+2m+1)}/{m^2+m+1}`

`={2(m+1)^2}/{m^2+m+1}\ge 0\ \forall m`

`3-x\ge 0<=>x\le 3`

Dấu "=" xảy ra khi `m+1=0<=>m=-1`

`=>x_{max}=3` khi $m=-1$

Vậy nghiệm của pt có $GTLN$ bằng $3$ khi $m=-1$

$\\$

`b)` Ta có:

 `x-1/ 3 ={m^2-m+1}/{m^2+m+1}-1/ 3`

`={3(m^2-m+1)-(m^2+m+1)}/{m^2+m+1}`

`={2m^2-4m+2}/{m^2+m+1}`

`={2(m^2-2m+1)}/{m^2+m+1}`

`={2(m-1)^2}/{m^2+m+1}\ge 0\ \forall m`

`x-1/ 3 \ge 0<=>x\ge 1/ 3`

Dấu "=" xảy ra khi `m-1=0<=>m=1`

`=>x_{min}=1/ 3` khi $m=1$

Vậy nghiệm của pt có $GTNN$ bằng `1/ 3` khi $m=1$

Đáp án:

` (m^2 +m +1)x - (m^2 - m +1) = 0`

` =>(m^2 +m +1)x = m^2 - m + 1`

` => x = (m^2 - m +1)/(m^2+m+1)`

Vậy mục đích của chúng ta là tìm `m` sao cho `x` lớn nhất hoặc nhỏ nhất , tức là tìm `m` sao cho

` (m^2 - m +1)/(m^2+m+1)` min hoặc max

` (m^2 - m +1)/(m^2+m+1) = (m^2 + m + 1 - 2m)/(m^2+m+1)= 1 - (2m)/(m^2+m+1)`

Xét mẫu số ` m^2 +m + 1 = (m + 1/2)^2 + 3/4 > 0`

`a)` Để nghiệm `x` lớn nhất thì ` 1 - (2m)/(m^2+m+1)` lớn nhất

` => (2m)/(m^2+m+1)` nhỏ nhất

` (2*(m^2+2m+1) - 2*(m^2 + m +1))/(m^2 + m + 1) = (2*(m+1)^2)/(m^2+m+1) -2 \ge 0 - 2 = -2`

` => x = 1 - (-2) = 3`

Vậy GTLN `x = 3` ; khi ` m +1 = 0 => m =-1`

`b)`

Để nghiệm `x` nhỏ nhất thì ` 1 - (2m)/(m^2+m+1)` nhỏ nhất

` => (2m)/(m^2+m+1)` lớn nhất

` (2m)/(m^2+m+1) = (6m)/(3(m^2+m+1)) = ( 2*(m^2+m+1) - 2*(m^2-2m+1))/(3*(m^2+m+1))`

` =2/3 - (2*(m-1)^2)/(3*(m^2+m-1) \le 2/3 `

` => x = 1 - 2/3 = 1//3`

Vậy GTLN `x = 1/3` ; khi ` m -1  = 0=> m=1`