`c)` Ta có:

 $H; K$ đối xứng qua $N$

`=>N` là trung điểm $HK$

Mà $BC\perp HK$ tại $N$

`=>CN` là đường trung trực của $HK$

`=>CH=CK`

`=>∆CHK` cân tại $C$

`=>CN` là phân giác của `\hat{HCK}`

`=>\hat{BCK}=\hat{BCH}`

Mà `\hat{BCH}=\hat{BAK}` (cùng phụ `\hat{FBC}`)

`=>\hat{BCK}=\hat{BAK}`

Tứ giác $BACK$ có hai đỉnh $C;A$ cùng nhìn cạnh $BK$ dưới hai góc bằng nhau

`=>BACK` nội tiếp

`=>B,A,C,K` cùng thuộc một đường tròn.

Mà $∆ABC$ nội tiếp $(O)$

`=>K` thuộc đường tròn $(O)$ $(đpcm)$

$\\$

`d)`  $BCEF$ nội tiếp $(I)$ đường kính $BC$ (câu a)

`=>IE=IC=1/ 2 BC`

`=>∆IEC` cân tại $I$

`=>\hat{ICE}=\hat{IEC}`

`=>\hat{EIC}=180°-2\hat{ECI}` $(1)$

$BCEF$ nội tiếp

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` 

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)

Ta có: `\hat{ANC}=\hat{AFC}=90°`

`=>` Tứ giác $ACNF$ có hai đỉnh $N;F$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông 

`=>ACNF` nội tiếp

`=>\hat{BFN}=\hat{ACB}`

`\hat{EFN}=180°-(\hat{AFE}+\hat{BFN})`

`=180°-2\hat{ACB}=180°-2\hat{ECI}` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{EIC}=\hat{EFN}`

`=>` Tứ giác $EFNI$ nội tiếp (đpcm)

(góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)