Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\widehat {HEC} + \widehat {HIC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$ \Rightarrow HECI$ là tứ giác nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {CHI} = \widehat {CEI}\left( 1 \right)$

Lại có:

$\widehat {AIB} = \widehat {AEB} = {90^0}$

$ \Rightarrow AEIB$ là tứ giác nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {ABC}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {CHI} = \widehat {ABC}$

b) Gọi $OC\cap EI=F$; $AO\cap (O)=G(G\ne A)$; $HG\cap BC=D$

Ta có:

$\widehat{ABG}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$

$\to AB\bot BG$

Khi đó:

$CH\bot  AB; BG\bot AB$ $\to BG//CH$

Tương tự $BH//CG$

$\to BHCG$ là hình bình hành.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {BCH} = \widehat {GBC}\\
 \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {GAC}\\
 \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {OAC}\\
 \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {OCA}\\
 \Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {FCE}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ICH} = \widehat {FCE}\\
\widehat {CHI} = \widehat {CEF}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CHI \sim \Delta CEF\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {CIH} = \widehat {CFE}\\
 \Rightarrow \widehat {CFE} = {90^0}\\
 \Rightarrow CF \bot EI\\
 \Rightarrow EI \bot OC
\end{array}$

c) Xét $\Delta ABG;\widehat {ABG} = {90^0};\widehat {AGB} = \widehat {ACB} = {60^0};BG = CH = 5cm$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow AG = \dfrac{{BG}}{{\cos \widehat {AGB}}} = \dfrac{5}{{\cos {{60}^0}}} = 10cm\\
 \Rightarrow 2AO = 10cm\\
 \Rightarrow AO = 5cm
\end{array}$

Vậy $AO=5cm$