Đáp án:

 Có 1 giá trị thực của m là $m=1$

Giải thích các bước giải:

 $y'=9mx^8+6(m^2-3m+2)x^5+4(2m^3-m^2-m)x^3$

$⇒y'=x^3[9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(2m^2-m-1)]$ (1)

$⇒\left[ \begin{array}{l}x^3=0\\9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(m^2-m-1)=0\end{array} \right.$

Do $y'=0$ luôn có nghiệm bội lẻ $x^3=0$

$⇒y$ đồng biến trên R $⇔y' \geq 0$; $\forall x \in R$ khi:

$9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(2m^2-m-1)=0$ (2) cũng có nghiệm bội lẻ $x=0$

Thay $x=0$ vào (2) ta được:

$4m(2m^2-m-1)=0⇒\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\\m=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

- Với $m=0$ thế vào (1):

$y'=x^3.12x^2=12x^5$ không thỏa mãn $y' \geq 0$ $\forall x$

- Với $m=1$ thế vào (1):

$y'=x^3.9x^5=9x^8 \geq 0$ $\forall x$ (thỏa mãn)

- Với $m=-\dfrac{1}{2}$ thế vào (1):

$y'=x^3\left(-\dfrac{9}{2}x^5+\dfrac{45}{2}x^2) \right)=-\dfrac{9}{2}x^8+\dfrac{45}{2}x^5$ 

Do $-\dfrac{9}{2}<0⇒\lim_{x\rightarrow \infty }(y')=-\infty $ hay luôn tồn tại $x$ đủ lớn để $y'<0$ $⇔$ không thỏa mãn $y' \geq 0$ $\forall x$ 

Vậy có đúng 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài: $m=1$