Đáp án:

Theo đề bài, ta có:

$\bullet a\le 1$

$\to a.{{a}^{2}}\le 1.{{a}^{2}}$

$\to {{a}^{3}}\le {{a}^{2}}\left( 1 \right)$

$\bullet b\le 1$

$\to {{b}^{2}}\le {{1}^{2}}$

$\to {{b}^{2}}\le 1$

${{b}^{2}}.b\le 1.b$

$\to {{b}^{3}}\le b\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}+b\left( 3 \right)$

$\bullet a\le 1$

$\to {{a}^{2}}\le {{1}^{2}}$

$\to {{a}^{2}}\le 1$

$\to {{a}^{2}}-1\le 0\left( 4 \right)$

$\bullet b\le 1$

$\to b-1\le 0\left( 5 \right)$

Lấy $\left( 4 \right).\left( 5 \right)$, ta được

$\to \left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( b-1 \right)\ge 0$

$\to {{a}^{2}}b-{{a}^{2}}-b+1\ge 0$

$\to {{a}^{2}}+b\le {{a}^{2}}b+1\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Kết hợp với ý $\left( 3 \right)$ và $\left( 6 \right)$, ta được:

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1$

Chứng minh tương tự, ta cũng sẽ được các kết quả như sau:

${{b}^{3}}+{{c}^{3}}\le {{b}^{2}}c+1$

${{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{c}^{2}}a+1$

$\bullet \,\,\,\,\,$Cộng vế theo vế, ta được:

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1+{{b}^{2}}c+1+{{c}^{2}}a+1$

$\to 2{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}+2{{c}^{3}}\le 3+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có $0\leq a,b,c\leq 1 $nên $a^{2}\leq 1$ và $b\geq 0$ nên ta có $(1-a^2)(1-b)\geq 0$⇔ $1+a^2b\geq a^2+b\geq a^3+b^3 (1)$

Tương tự ta cũng có:$\left \{ {{1+b^2c\geq b^3+c^3} \atop {1+c^2a\geq c^3+a^3}} \right.$

Từ đó ta có: $2a^3 + 2b^3 + 2c^3 \leq 3 + a^2b + b^2c + c^2a$.