a) Xét $∆BID$ và $∆BIF$ có:

$\widehat{DBI}=\widehat{FBI}\quad (BI$ là phân gíac $\widehat{B}$)

$\widehat{D}=\widehat{F}=90^\circ$

$BI:$ cạnh chung

Do đó $∆BID=∆BIF$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Xét $∆CIE$ và $∆CIF$ có:

$\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\quad (CI$ là phân gíac $\widehat{C}$)

$\widehat{E}=\widehat{F}=90^\circ$

$CI:$ cạnh chung

Do đó $∆CIE=∆CIF$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\to IE = IF$ (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có: $∆BID=∆BIF$ (câu a)

$\to ID = IF$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó ta được:

$ID = IE = IF$

c) Ta có:

$∆CIE=∆CIF$ (câu b)

$\to CE = CF$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có: $IE = IF$ (câu b)

Do đó $CI$ là đường trung trực của $EF$

$\to CI\perp EF$

Xét ΔIBD và ΔIBF có:
góc IDB = góc IFB = 90 độ
 IB chung
góc DBI = góc IBF (cmt)

⇒ΔIBD = ΔIBF (ch-gn) (1)

Xét ΔDBI và ΔFBI có:

BI chung

góc FBI = góc IBD

góc BDI= góc IFB

⇒ ΔDBI = ΔFB (2)

Xét ΔBIF và ΔCIF có:

IF chung

góc IFC = góc IFB

góc IBF = góc ICF

⇒ ΔBIF = ΔCIF (3)

Từ (!) , (2) , (3) ⇒ IE = ID = IF ( 3 cạnh tương ứng)