Đáp án:

1) $S = \dfrac{a^2\pi}{2}$

2) $R = a$

3) $R = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Giải thích các bước giải:

1) Ta có công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh $a$

$$\boxed{R = \dfrac{a\sqrt2}{4}}$$

Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh $a$ là:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot \left(\dfrac{a\sqrt2}{4}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{2}$

2) Ta có:

$ΔABC$ vuông cân tại $B;\, AB = BC = a$

$\to AC = a\sqrt2$

Mặt khác:

$SA\perp (ABC)$

$\to \widehat{(SC;(ABC))} = \widehat{SCA} = 45^\circ$

$\to SA = AC = a\sqrt2$

$\to ΔSAC$ vuông cân tại $A$

$\to SC = 2a$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$

$\to IS = IC = IA =\dfrac12SC = a$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

$\to R = IA = a$

3) Ta có:

$ΔABC$ vuông cân tại $B;\, AB = BC = a$

$\to AC = a\sqrt2$

Mặt khác:

$SA\perp (SBC)$

$\to SA\perp AB$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+) \quad SB^2 = SA^2 + AB^2$

$\to SA^2 = SB^2 - AB^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$

$+) \quad SC^2 = SA^2 +AC^2 = 3a^2 + 2a^2$

$\to SC = a\sqrt5$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$

$\to IS = IC = IA = \dfrac12SC = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

$\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$

$\to R = IA = \dfrac{a\sqrt5}{2}$