a) Chứng minh $AM$ là trung trực của $BC$

Xét $∆ABM$ và $∆ACM$ có:

$AB = AC\quad (gt)$

$AM:$ cạnh chung

$MB = MC\quad (gt)$

Do đó $∆ABM=∆ACM\, (c.c.c)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^\circ$ (hai góc kề bù)

nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^\circ$

$\to AM\perp BC$

Lại có: $MB = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$

Do đó $AM$ là trung trực của $BC$

b) Ta có:

$∆ABM=∆ACM$ (câu a)

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{MAB} +\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$

nên $AM$ là phân giác trong của $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\dfrac12\widehat{BAC}$

Mặt khác:

Gọi $CAy$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ có $Ax$ là tia phân giác

$\to \widehat{CAx}=\dfrac12\widehat{CAy}$

$\to \widehat{MAC}+\widehat{CAx}=\dfrac12\widehat{BAC}+\widehat{CAy}$

$\to \widehat{MAx}=\dfrac12(\widehat{BAC}+\widehat{CAy})$

$\to \widehat{MAx}=\dfrac12\cdot 180^\circ= 90^\circ$

$\to Ax\perp AM$

Ta lại có:

$AM\perp BC$ (câu a)

nên $Ax//BC\quad (\perp AM)$