Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to AB^2+AC^2=BC^2$

$\to AC^2=BC^2-AB^2$

$\to AC^2=2304$

$\to AC=48$

Mà $H$ là trung điểm $AC$

$\to HC=HA=\dfrac12AC=24$

b.Ta có $BK$ là phân giác góc $B$

$\to \widehat{ABK}=\widehat{MBK}$

Mà $KH\perp AC, AB\perp AC\to AB//HK$

$\to \widehat{MKB}=\widehat{ABK}=\widehat{KBM}$

$\to \Delta MBK$ cân tại $M$

$\to MK=MB$

Ta có $MH\perp AC=H$ là trung điểm $AC$

$\to MH$ là trung trực của $AC$

$\to MA=MC$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$\to 90^o-\widehat{MAC}=90^o-\widehat{MCA}$

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \Delta MAB$ cân tại $M$

$\to MA=MB$

$\to MB=MC(=MA)$

Lại có $MK=MB\to MK=MC$

$\to \Delta MKC, \Delta MKB$ cân tại $M$

$\to \widehat{BKC}=\widehat{BKM}+\widehat{MKC}$

$\to \widehat{BKC}=(90^o-\dfrac12\widehat{BMK})+(90^o-\dfrac12\widehat{KMC})$

$\to \widehat{BKC}=180^o-\dfrac12(\widehat{BMK}+\widehat{CMK})$

$\to \widehat{BKC}=180^o-\dfrac12\cdot 180^o$

$\to \widehat{BKC}=90^o$

$\to \Delta KBC$ vuông tại $K$

c.Gọi $BE\cap AC=E$

$\to BE$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{7}{25}$

$\to \dfrac{EA}{EA+EC}=\dfrac{7}{7+25}$

$\to \dfrac{EA}{AC}=\dfrac{7}{32}$

$\to EA=\dfrac7{32}AC=\dfrac{21}{2}$

$\to BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\dfrac{35}{2}$

Xét $\Delta ABE, \Delta KBC$ có:

$\widehat{ABE}=\widehat{KBC}$ vì $BE$ là phân giác góc $B$

$\widehat{BAE}=\widehat{BKC}=90^o$

$\to \Delta ABE\sim\Delta KBC(g.g)$

$\to \dfrac{BK}{BA}=\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{20}{7}$

$\to BK=\dfrac{20}{7}AB=40$

d.Ta có:

$DB^2-DC^2=(DB-DC)(DB+DC)=(BM+MD-(CM-MD))BC=2MD.BC$ vì $MB=MC=\dfrac12BC$

$\to DB^2-DC^2=2MD.2MC=4MD.MC$ 

Ta có:

$\widehat{MHC}=\widehat{HDM}=90^o$

$\widehat{HMD}=\widehat{HMC}$

$\to \Delta MDH\sim\Delta MHC(g.g)$

$\to \dfrac{MD}{MH}=\dfrac{MH}{MC}$

$\to MH^2=MD.MC$

$\to 4MH^2=4MD.MC$

$\to (2MH)^2=4MD.MC$

Ta có $H, M$ là trung điểm $BC, AC\to HM$ là đường trung bình $\Delta ABC\to AB=2MH$

$\to AB^2=(2MH)^2=4MD.MC$

$\to DB^2-DC^2=AB^2$