a) Ta có:

$\widehat{HAB}=\widehat{HCA}=\widehat{ECA}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)

$\widehat{HAE}=\widehat{EAC}=\dfrac12\widehat{HAC}\quad (gt)$

$\to \widehat{HAB}+\widehat{HAE}=\widehat{ECA}+\widehat{EAC}$

$\to \widehat{BAE}=\widehat{BEA}$

$\to ∆ABE$ cân tại $B$

b) Ta có:

$CA = CD\quad (gt)$

$\to ∆ACD$ cân tại $C$

$\to \widehat{DAC}=\widehat{ADC}$

$\to \widehat{HAD}+\widehat{HAC} =\widehat{ABD}+\widehat{DAB}$

mà $\widehat{HAC}=\widehat{ABH}=\widehat{ABD}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

nên $\widehat{HAD}=\widehat{DAB}$

$\to AD$ là phân giác của $\widehat{HAB}$

c) Sửa đề: $F\in AB: AF = AH$

Xét $∆AHD$ và $∆AFD$ có:

$AF = AH\quad (gt)$

$\widehat{HAD}=\widehat{DAB}$ (câu b)

$AD:$ cạnh chung

Do đó $∆AHD=∆AFD\, (c.g.c)$

$\to \widehat{AFD}=\widehat{AHD}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\to DF\perp AF$

$\to DF\perp AB$

Ta có: $\widehat{HAB}$ `=` $\widehat{ECA}$ 

Mà `AE` là tia phân giác $\widehat{HAC}$ ( gt )

`⇒` $\widehat{HAE}$ `+` $\widehat{HAB}$ `=` $\widehat{ECA}$ `+` $\widehat{CAE}$

Mà $\widehat{HAB}$ `=` $\widehat{ECA}$ `(cmt)` 

`⇒` $\widehat{BAE}$ `=` $\widehat{BEA}$ 

`⇒ΔABE` cân tại `B` ( tính chất )

`b)` Ta có: `CD=CA` ( gt )

`⇒ΔCAD` cân tại `C` ( tính chất )

`⇒` $\widehat{DAC}$ `=` $\widehat{ADC}$ ( định lý )

Ta có:

$\widehat{HAC}$ `=` $\widehat{ABD}$

Mà $\widehat{HAD}$ `+` $\widehat{HAC}$ `=` $\widehat{ABD}$ `+` $\widehat{BAD}$

`⇒` $\widehat{BAD}$ `=` $\widehat{DAH}$ 

`⇒` `AD` là phân giác $\widehat{BAH}$ 

`c)` Xét `ΔFDA` và `ΔHDA` có:

`AF=AH` ( gt )

$\widehat{HAD}$ `=` $\widehat{DAF}$ `(cmt)`

`AD` chung

`⇒ΔFDA=ΔHDA(c.g.c)`

`⇒` $\widehat{AFD}$ `=` $\widehat{AHD}$ ( góc tương ứng )

Mà $\widehat{AHD}$ `=` `90^o`

Vậy `DF⊥AB`