Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AMEN$ là hình vuông

$\to AM\perp AN, AM=AN$

Xét $\Delta ADN, \Delta ABM$ có:

$AD=AB$

$\widehat{NAD}=90^o-\widehat{DAM}=\widehat{BAM}$

$AN=AM$

$\to \Delta ADN=\Delta ABM(c.g.c)$

$\to \widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^o$

$\to AD\perp DN$

Mà $AD\perp DC\to N, D, C$ thẳng hàng

b.Xét $\Delta ABP,\Delta ADQ$ có:

$\widehat{ADQ}=\widehat{ABP}=90^o$

$AD=AB$

$\widehat{PAB}=90^o-\widehat{BAM}=\widehat{QAD}$

$\to \Delta ABP=\Delta ADQ(g.c.g)$

$\to AP=AQ$

$\to\Delta APQ$ cân tại $A$

c.Ta có $AMEN$ là hình vuông

$\to MN\perp AE\to AO\perp OK$

  Do $\Delta APQ$ cân tại $A, I$ là trung điểm $PQ\to AI\perp PQ\to AI\perp IK$

Xét $\Delta NPQ$ có $QA\perp NP, PC\perp NQ\to M$ là trực tâm $\Delta NPQ\to MN\perp PQ$

$\to OK\perp IK$

$\to AOKI$ là hình chữ nhật

d.Ta có $\Delta ABP, \Delta CPQ$ vuông tại $A, C$ có $I$ là trung điểm $PQ$

$\to IA=IP=IA=IC$

$\to IA=IC$

Mà $AMEN$ là hình vuông có $NM\cap AE=O\to O$ là trung điểm $MN$

Mặt khác $\Delta NCM$ vuông tại $C\to OA=OM=ON=OC$

Vì $AI=IC, OA=OC\to IO$ là trung trực của $AC$

Do $ABCD$ là hình vuông $\to BD$ là trung trực của $AC$

$\to I,O$ di chuyển trên $BD$ cố định