$\underline{\text{A - CM: ΔHAC ᔕ ΔABC }}$

+ Có: ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ `hat{BAC} = 90^o`

         AH là đường cao của ΔABC (gt) ⇒ AH ⊥ BC tại H

         HD là đường cao (gt) ⇒ HD ⊥ AB tại D

         HE là đường cao (gt) ⇒ HE ⊥ AC tại E

+ Xét ΔHAC và ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{AHC} = \widehat{BAC} (= 90^o)$}\\\text{$\widehat{A}$ chung}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔHAC ᔕ ΔABC (g - g)}$

$\\$

$\underline{\text{B - CM: AH² = AD . AB}}$

+ Xét ΔDHA và ΔHBA có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{A }$ chung}\\\text{$\widehat{HDA} = \widehat{BHA} (=90^o)$}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔDHA ᔕ ΔHBA (g - g)}$

`⇒` $\dfrac{DA}{HA} = \dfrac{HA}{BA}$ (cặp cạnh tương ứng)

`⇒ AH² = AD.AB `

$\\$

$\underline{\text{C - CM: AD.AB = AE.AC}}$

+ Xét ΔAHE và ΔACH có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{A}$ chung}\\\text{$\widehat{AEH} = \widehat{AHC} (= 90^o)$}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔAHE ᔕ ΔACH (g-g)}$

`⇒` $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AE}{AH}$ (cặp cạnh tương ứng)

`⇒ AH² = AE.AC `

+ Có:

$\left.\begin{matrix} \text{$AH^2$ = AD.AB (cmt)}\\\text{AH² = AE.AC (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AD.AB = AE.AC (= AH²)}$

$\\$

$\underline{\text{D - TÍNH }}$$\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}$

Có: AD.AB = AE.AC (cmt)

⇒ $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$

+ Xét ΔADE và ΔACB có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ (cmt)}\\\text{$\widehat{A}$ chung}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔADE ᔕ ΔACB (c - g-c)}$

`⇒` $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = k$

+ Xét $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\dfrac{AD}{AC})^2 = \dfrac{AD^2}{AC^2}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a. Xét tam giác HAC và tam giác ABC :

^BAC = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)

^AHC = 90 độ (AH là đường cao)

Mà ^C chung

=> Δ HAC đồng dạng tam giác ABC (g . g)

b, Xét tam giác BHA và tam giác HDA :

^BHA = 90 độ (AH là đường cao)

^HDA = 90 độ (HD vuông góc AB)

^A chung

=> ΔBHA ∞ ΔHDA (g.g)

=> AH/ AB = AH/AD (các cạnh t/ứ tỉ lệ)

=> AH^2 = AD. AB (ĐPCM)