Ta có:
1)ON _ | _AN (t / c tiếp tuyến) => ^ ONA = 90

OM _ | _AM (as on) => ^ OMA = 90

=> tg AMON nội tiếp đ.tròn đ.kính OA ------- (1 *)

2) Giả sử OA cắt MN tại H

Ta có tg OAN = tg OAM (vì OA, chung; ^ ONA = ^ OMA = 90; ON = OM = R)

=> ^ AON = ^ AOM

=> OA là phân giác của tg cân OMN

=> OA cũng là đường cao tg OMN

=> OA _ | _MN => tg AKH ~ tg OAI (vì ^ AHK = ^ AIO = 90; góc A chung)

=> AK / AH = AI / AO => AK.AI = AH.AO mà AH.AO = AM ^ 2 (hệ thức lượng tg vuông AMO, MH là đ / cao)

=> AK.AI = AM ^ 2 ------ (2 *) Mặt khác tg ABM ~ tg AMC (vì ^ A chung; ^ ACN = ^ AMB)

=> AB / AM = AM / AC

=> AB.AC = AM ^ 2 --- (3 *) Từ (2 *, 3 *)

=> AK.AI = AB.AC

 3)Ta thấy ^AIO = 90o

=> I nằm trên đường tròn (I) đ/kính OA

Do I nằm trong (O) => I nằm trên cung tròn cắt nhau giữa 2 đ/tròn (I) & (O)

4)

Ta cũng có tg AION nội tiếp đ.tròn đ/k OA Từ (1*)

=> A, N, I, O, M nội tiếp

=> ^AIN = ^AMN

=> ^AIM = ^ANM mà ^ANM = ^AMN (do tg AMN cân vì AM=AN)

=> ^AIN = AIM => IK là phân giác góc ^MIN

=> IM/IN = MK/KN (theo định lý đường phân giác) mà IM/IN =2

=> MK/KN = 2

=> Cát tuyến ABC qua A cắt MN theo tỷ lệ 2: 1 thì thỏa mãn IM/IN =2

$#uynthithao$