Đáp án:

`a)`  Ta có `:` `M = ( 9x + 5 ) / ( 3x - 1 ) = [ 3 ( 3x - 1 ) + 8 ] / ( 3x - 1 ) = 3 + 8 / ( 3x - 1 )`

Để  `M = ( 9x + 5 ) / ( 3x - 1 )`  có giá trị nguyên

`=> 8  \vdots  3x - 1`

`=> 3x - 1 ∈ Ư ( 8 )`

`=> 3x - 1 ∈ { -8 ; -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 8 }`

`=> 3x ∈ { -7 ; -3 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 5 ; 9 }`

`=> x ∈ { -7/3 ; -1 ; -1/3 ; 0 ; 2/3 ; 1 ; 5/3 ; 3 }`

Mà  `x`  có giá trị nguyên

`=> x ∈ { -1 ; 0 ; 1 ; 3 }`

Vậy  `x ∈ { -1 ; 0 ; 1 ; 3 }`  thì  `M = ( 9x + 5 ) / ( 3x - 1 )`  có giá trị nguyên.

`b)`  `A ( x ) = 12x^3 + 2ax + a^2`

`=> A ( 1 ) = 12 . 1^3 + 2 . a . 1 + a^2`

`=> A ( 1 ) = 12 + 2a + a^2`

       `B ( x ) = 2x^2 - | 2a + 3 | x + a^2`

`=> B ( -2 ) = 2 . ( -2 )^2 - | 2a + 3 | . ( - 2 ) + a^2`

`=> B ( -2 ) = 8 + 2 | 2a + 3 | + a^2`

Để  `A ( 1 ) = B ( - 2 )`

`=> 12 + 2a + a^2 = 8 + 2 | 2a + 3 | + a^2`

`=> 2 | 2a + 3 | = ( a^2 - a^2 ) + 2a + ( 12 - 8 )`

`=> 2 | 2a + 3 | = 2a + 4`

`=> 2 | 2a + 3 | = 2 ( a + 2 )`

`=> | 2a + 3 | = a + 2`

$\bullet$  Với  `2a + 3 >= 0 => a >= -3/2 => | 2a + 3 | = 2a + 3`

   `2a + 3 = a + 2`

`=> 2a - a = 2 - 3`

`=> a = -1`  `( TM )`

$\bullet$  Với  `2a + 3 < 0 => a < -3/2 => | 2a + 3 | = -2a - 3`

   `-2a - 3 = a + 2`

`=> -2a - a = 2 + 3`

`=> -3a = 5`

`=> a = -5/3`  `( TM )`

Vậy  `a ∈ { -1 ; -5/3 }.`

a,

`M=(9x+5)/(3x-1)(x\ne1/3)`

`->M=(9x-3+8)/(3x-1)`

`->M=((9x-3)+8)/(3x-1)`

`->M=(9x-3)/(3x-1)+8/(3x-1)`

`->M=(3(9x-1))/(3x-1)+8/(3x-1)`

`->M=3+8/(3x-1)`

Để biểu thức `M=(9x+5)/(3x-1)` nhận giá trị nguyên

Nên `8\vdots3x-1`

`->3x-1\inƯ_((8))={-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}`

`->x\in{-7/3; -1; -1/3; 0; 2/3; 1; 5/3; 3}`

Mà theo đề ta biết biến `x` là giá trị nguyên

Nên `x\in{-1; 0; 1; 3}`

Vậy, `x\in{-1; 0; 1; 3}` để biểu thức `M=(9x+5)/(3x-1)` nhận giá trị nguyên

b, 

Biết `A(1)=B(-2)`

$\bullet\quad$ Xét vế trái 

Cho đa thức `A(x)=12x^3+2ax+a^2`

Với `A(1)` ta được `x=1`

Thay `x=1` vào đa thức `A(x)=12x^3+2ax+a^2,` ta được:

`A(1)=12 . 1^3+2a . 1+a^2`

`->A(1)=12 . 1+2a . 1+a^2`

`->A(1)=12+2a+a^2`

`->A(1)=a^2+2a+12`

$\bullet\quad$ Xét vế phải

Cho đa thức `B(x)=2x^2-|2a+3|x+a^2`

Với `B(-2)` ta được `x=-2`

Thay `x=-2` vào đa thức `B(x)=2x^2-|2a+3|x+a^2,` ta được:

`B(-2)=2 . (-2)^2-|2a+3| . (-2)+a^2`

`->B(-2)=2 . 4-|2a+3| . (-2)+a^2`

`->B(-2)=8-|2a+3| . (-2)+a^2`

`->B(-2)=a^2-|2a+3| . (-2)+8`

`->B(-2)=a^2+2|2a+3|+8`

Mà hai vế trên bằng nhau, khi đó ta thực hiện như sau:

`A(1)=B(-2)`

`->a^2+2a+12=a^2+2|2a+3|+8`

`<=>a^2+2a+12-a^2-2|2a+3|-8=0`

`<=>(a^2-a^2)+2a+(12-8)-2|2a+3|=0`

`<=>0+2a+4-2|2a+3|=0`

`<=>2a+4-2|2a+3|=0`

`<=>2a+4=2|2a+3|`

`<=>2(a+2)=2|2a+3|`

`<=>a+2=(2|2a+3|):2`

`<=>a+2=(2|2a+3|)/2`

`<=>a+2=|2a+3|`

`@` Trường hợp `1:`

Nếu `|2a+3|=2a+3` thì `a>=-3/2`

`a+2=2a+3`

`<=>a-2a=3-2`

`<=>-a=1`

`<=>(-1)a=1`

`<=>a=1:(-1)`

`<=>a=1/-1`

`<=>a=-1/1`

`<=>a=-1`(Tm)

`@` Trường hợp `2:`

Nếu `|2a+3|=-(2a+3)=-2a-3` thì `a<-3/2`

`a+2=-2a-3`

`<=>a+2a=(-3)-2`

`<=>3a=-5`

`<=>a=(-5):3`

`<=>a=(-5)/3`

`<=>a=-5/3`(Tm)

Vậy, `a=-1` hoặc `a=-5/3.`