Lười viết lại pt nên coi pt đầu bài là pt $(1)$

Nếu $y=0$

$(1)\to x^3=1993+2021\\\to x^3=4014\text{(Loại)}$

Nếu $y=1$

$(1)\to x^3=8000\\\to x=20$

Nếu $y=2$

$(1)\to x^3=19958\text{(Loại)}$

Nếu $y>2$

$\to 3^y≡0\pmod{3}\\\to 1993.3^y≡0\pmod{3}\\2021≡2\pmod{3}\\\to 1993.3^y +2021≡2\pmod{3}\\\to x^3≡2\pmod{3}\\\to x≡2\pmod{3}$

Khi đó $x$ có dạng: $x=3m+2(m\in N)$

$(1)\to (3m+2)^3=1993.3^y +2021\\\to 27m^3+54m^2+36m+8=1993.3^y +2021\\\to 27m^3+54m^2+36m=1993 . 3^y+2013$

Dễ dàng nhận thấy: $27m^3+54m^2+36m≡0\pmod{9}$

$\to 1993. 3^y +2013≡0\pmod{9}(*)$

Mặt khác: $3^y≡0\pmod{9}$

$\to 1993.3^y ≡0\pmod{9}\\2013≡6\pmod{9}\\\to 1993.3^y +2013≡6\pmod{9}$

Mâu thuẫn với $(*)$

$\to$Pt$(1)$ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(20;1)$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Với $y = 0 \Rightarrow x^3 = 1993 . 1 + 2021 = 1993 + 2021 = 4014$

$\Rightarrow$ Loại vì $4014$ không phải số lập phương $\Rightarrow x \notin \mathbb{N}$(mâu thuẫn)

Với $y = 1$:

$x^3 = 1993 . 3 + 2021 = 5979 +2021 = 8000$

$\Rightarrow x = 20$(nhận)

Với $y > 1:$
$1993 . 3^y \equiv 9$

$\Rightarrow 1993 . 3^y + 2021 \equiv 5 (\text{mod } 9)$

$\Rightarrow x^3 \equiv 5(\text{mod } 9)$

Mà số lập phương đúng chia $9$ chỉ dư $0, 1,8$

$\Rightarrow y > 1$ là vô lý

$\Rightarrow x = 20; y = 1$

Vậy $(x; y) = (20; 1)$