Đáp án:

 GỌi pt đường phân giác trong qua A của tam giác là (d)y=a.x+b

Do A nằm trên (d) nên 

$\begin{array}{l}
5 = 2a + b \Rightarrow b = 5 - 2a\\
 \Rightarrow \left( d \right):y = a.x + 5 - 2a\\
 \Rightarrow a.x - y + 5 - 2a = 0
\end{array}$

Vì khoảng cách từ B và C đến (d) bằng nhau nên ta có:

$\begin{array}{l}
{d_{B - d}} = {d_{C - d}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{\left| {a.\left( { - 3} \right) - 1 + 5 - 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| {a.1 - \left( { - 4} \right) + 5 - 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}\\
 \Rightarrow \left| {4 - 5a} \right| = \left| {9 - a} \right|\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
4 - 5a = 9 - a\\
4 - 5a = a - 9
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
4a =  - 5\\
6a = 13
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ - 5}}{4}\\
a = \dfrac{{13}}{6}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( d \right):\dfrac{{ - 5}}{4}x - y + \dfrac{{15}}{2} = 0\left( 1 \right)\\
\left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x - y + \dfrac{2}{3} = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Mà B và C nằm khác phía với d nên:

$\begin{array}{l}
{d_B}.{d_C} < 0\\
 + TH1:\left( d \right): - \dfrac{5}{4}x - y + \dfrac{{15}}{2} = 0\\
 \Rightarrow \left( { - \dfrac{5}{4}.\left( { - 3} \right) - 1 + \dfrac{{15}}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}.1 + 4 + \dfrac{{15}}{2}} \right) > 0\left( {ktm} \right)\\
 + TH2:\left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x - y + \dfrac{2}{3} = 0\\
 \Rightarrow \left( {\dfrac{{13}}{6}.\left( { - 3} \right) - 1 + \dfrac{2}{3}} \right).\left( {\dfrac{{13}}{6}.1 + 4 + \dfrac{2}{3}} \right) < 0\\
 \Rightarrow \left( d \right):\dfrac{{13}}{6}.x - y + \dfrac{2}{3} = 0\\
hay\,y = \dfrac{{13}}{6}x + \dfrac{2}{3}
\end{array}$

Viết được pt BC: $y =  - \dfrac{5}{4}.x - \dfrac{{11}}{4}$

Tọa độ I là giao của BC và d

$\begin{array}{l}
\dfrac{{13}}{6}x + \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ - 5}}{4}x - \dfrac{{11}}{4}\\
 \Rightarrow x =  - 1\\
 \Rightarrow y =  - \dfrac{3}{2}\\
 \Rightarrow I\left( { - 1; - \dfrac{3}{2}} \right)
\end{array}$