Đáp án:EAEC=14EAEC=14

Giải thích các bước giải:

Kẻ đường cao AHAH của hình thang

Ta được:

SACD=12×CD×AHSACD=12×CD×AH

SBCD=12×CD×AHSBCD=12×CD×AH

Vậy SACD=SBCDSACD=SBCD

Ta có:

SABC=12×AB×AHSABC=12×AB×AH

SACD=12×CD×AHSACD=12×CD×AH

⇒SABCSACD=12×AB×AH12×CD×AH=ABCD⇒SABCSACD=12×AB×AH12×CD×AH=ABCD

mà CD=4ABCD=4AB

nên SABCSACD=AB4AB=14SABCSACD=AB4AB=14

Từ BB kẻ đường cao BMBM của ΔABCΔABC

Từ DD kẻ đường cao DNDN của ΔACDΔACD

Ta có:

SABC=12×BM×ACSABC=12×BM×AC

SACD=12×DN×ACSACD=12×DN×AC

⇒SABCSACD=12×BM×AC12×DN×CD=BMDN⇒SABCSACD=12×BM×AC12×DN×CD=BMDN

mà SABCSACD=14SABCSACD=14 (chứng minh trên)

nên BMDN=14BMDN=14

Mặt khác ta có:

SABC=SABD=12×AB×AHSABC=SABD=12×AB×AH

SABC=SABE+SBECSABC=SABE+SBEC

SABD=SABE+SAEDSABD=SABE+SAED

nên SBED=SAEDSBED=SAED

⇒12×BM×EC=12×DN×EA⇒12×BM×EC=12×DN×EA

⇒BM×EC=DN×EA⇒BM×EC=DN×EA

⇒EAEC=BMDN=14⇒EAEC=BMDN=14

Vậy EAEC=14EAEC=14

Kẻ đường cao $AH$ của hình thang

Ta được:

$S_{ACD} =\dfrac12 ×CD × AH$

$S_{BCD} = \dfrac12 ×CD ×AH$

Vậy $S_{ACD} = S_{BCD}$

Ta có:

$S_{ABC} = \dfrac12 ×AB ×AH$

$S_{ACD} = \dfrac12 × CD × AH$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×AB×AH}{\dfrac12×CD×AH} = \dfrac{AB}{CD}$

mà $CD = 4AB$

nên $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB}{4AB} = \dfrac{1}{4}$

Từ $B$ kẻ đường cao $BM$ của $ΔABC$

Từ $D$ kẻ đường cao $DN$ của $ΔACD$

Ta có:

$S_{ABC} = \dfrac12 × BM × AC$

$S_{ACD} = \dfrac12 × DN × AC$

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac12×BM×AC}{\dfrac12×DN×CD} = \dfrac{BM}{DN}$

mà $\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = \dfrac{1}{4}$ (chứng minh trên)

nên $\dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$

Mặt khác ta có:

$S_{ABC} = S_{ABD} = \dfrac12 × AB × AH$

$S_{ABC} = S_{ABE} + S_{BEC}$

$S_{ABD} = S_{ABE} + S_{AED}$

nên $S_{BED} = S_{AED}$

$\Rightarrow \dfrac12 × BM ×EC = \dfrac12 × DN × EA$

$\Rightarrow BM × EC = DN × EA$

$\Rightarrow \dfrac{EA}{EC} = \dfrac{BM}{DN} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{1}{4}$