Giải thích các bước giải:

1.Ta có $E, F$ là trung điểm $AC, BC, AF\cap BE=I$

$\to I$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Mà $CI\cap AB=N\to N$ là trung điểm $AB$

Do $E, F$ là trung điểm $AC, BC\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to EF//BC, EF=\dfrac12BC$

$\to EF//BN, EF=BN$ vì $N$ là trung điểm $AB$

$\to BNEF$ là hình bình hành

Ta có $EF//AB$

$\to \dfrac{EM}{AN}=\dfrac{CM}{CN}=\dfrac{FM}{BN}$

Mà $NA=NB$ vì $N$ là trung điểm $AB$

$\to ME=MF\to M$ là trung điểm $EF$

2. Ta có $EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to EF=\dfrac12AB$

Mà $M$ là trung điểm $EF$

$\to MF=\dfrac12EF=\dfrac14AB$

$\to \dfrac{MF}{AB}=\dfrac14$

Lại có $EF//AB$

$\to \dfrac{KF}{KB}=\dfrac{MF}{AB}=\dfrac14$

$\to \dfrac{KF}{KB-KF}=\dfrac1{4-1}$

$\to \dfrac{KF}{FB}=\dfrac13$

$\to \dfrac{KF}{FC}=\dfrac13$ vì $F$ là trung điểm $BC\to FB=FC$

Lại có $I$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \dfrac{FI}{FA}=\dfrac13$

$\to \dfrac{FK}{FC}=\dfrac{FI}{FA}$

$\to KI//AC$

$\to AIKC$ là hình thang

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A, F$ là trung điểm $BC$

$\to FA=FB=FC$

$\to \Delta FAC$ cân tại $F$

$\to \widehat{FAC}=\widehat{FCA}$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{KCA}$

$\to AIKC$ là hình thang cân

Ta có $IK//AC\to \dfrac{KC}{CF}=\dfrac{AI}{AF}=\dfrac23$

$\to 3KC=2CF=BC$ vì $F$ là trung điểm $BC$