Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `c)`

    Vì `H` là giao điểm của 2 đường cao `BD;CE`

⇒`H` là trực tâm

`⇒AH⊥BC`

         Xét `ΔBFH và ΔBDC`có:

`hat(DBC)`chung

`hat(BFH)=hat(BDC)=90^o(AH⊥BC;BD⊥AC)`

⇒`ΔBFH~ΔBDC(g,g)`

⇒`(BF)/(BD)=(BH)/(BC)`(tương ứng tỉ lệ)

⇒`BF.BC=BH.BD(1)`

      Xét `ΔHFC và ΔBEC`có:

`hat(HFC)=hat(BEC)=90^o(CE⊥AB;AF⊥BC)`

`hat(ECB)`chung

⇒`ΔHFC~ΔBEC(g.g)`

⇒`(HC)/(BC)=(FC)/(EC)`(t ứng tỉ lệ)

⇒`FC.BC=HC.EC(2)`

Cộng `(1);(2)` vế theo vế

⇒`BF.BC+FC.BC=BH.BD+HC.EC`

⇒`BC(BF+FC)=BH.BD+HC.EC`

⇒`BC^2=BH.BD+HC.EC`

$d)$

$+)$Dễ dàng chứng minh được $AF$⊥$BC.$

Xét $ΔBHF$ và $ΔBCD:$

$\begin{cases}∠DBC:chung\\∠BFH=∠BDC=90º\\\end{cases}$

$⇒ΔBHFᔕΔBCD(g.g)$

$⇒\dfrac{BH}{BF}=\dfrac{BC}{BD}$(2 cạnh t.ứng tỉ lệ)

$⇔BH.BD=BF.BC(đpcm).$

$+)$$cmtt⇒CH.CE=FC.BC$

$⇒BH.BD+CH.CE=BC.BF+BC.FC$

                                     $=BC(BF+FC)$

                                     $=BC^2(đpcm).$

Chúc bạn học tốt!