Đáp án:

a)

$\begin{array}{l}
EI//AC \Rightarrow EI//CK\\
 \Rightarrow \frac{{DI}}{{DK}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{1}{2}\\
DI//BH\\
 \Rightarrow \frac{{EI}}{{EH}} = \frac{{ED}}{{EB}} = \frac{1}{2}
\end{array}$

=> I là trung điểm của DK và I là trung điểm của EH

Tứ giác DHKE có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> DHKE là hình bình hành

b)

Tứ giác AHIK có AH//IK; AK//HI

=> AHIK là hình bình hành

Gọi AI cắt HK tại N

=> N là trung điểm của HK

Tứ giác DHKE là hình bình hành nên HK//DE

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
NK//MC\\
HN//BM
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{NK}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{AM}}\\
\frac{{HN}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{AM}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \frac{{NK}}{{MC}} = \frac{{HN}}{{BM}}\\
 \Rightarrow MC = BM\left( {Do:NK = HN} \right)\\
 \Rightarrow MC - EC = BM - BD\\
 \Rightarrow ME = MD
\end{array}$

c)

Hình bình hành DHKE là hình thoi thì HE vuông góc với DK

=> AB vuông góc AC

=> góc BAC vuông

Vậy tam giác ABC vuông tại A thì DHKE là hình thoi