$m \in [0;20]$? Phương trình $2x^2-2mx+1=3\sqrt{2x^3+x}$ có hai nghiệm phân biệt.

TXĐ: $D = [0;+\infty]$

$\begin{array}{cl} 2x^2-2mx+1=3\sqrt{2x^3+x} & \Leftrightarrow (2x^2+1)-2mx=3.\sqrt{x}.\sqrt{2x^2+1}\\ &\Leftrightarrow 1-\dfrac{2mx}{2x^2+1}=3\sqrt{\dfrac{x}{2x^2+1}} \quad (1) \end{array}$ Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình.Xét $x > 0$.

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x}{2x^2+1}}, \, t>0 \Leftrightarrow t^2=\dfrac{x}{2x^2+1}\Leftrightarrow 2t^2.x^2-x+t^2=0 \Rightarrow \Delta >0$

$\hspace{1cm}\Rightarrow$ với mỗi giá trị $t>0$ thì xác định HAI giá trị của $x$.

Khi đó: $1-2mt^2=3t \Leftrightarrow 2mt^2+3t-1=0 \qquad (2)$.

Ta có: $\Delta_t=3^2-4.2m.(-1)=9+8m \ge 0 \Leftrightarrow m\ge -\dfrac{9}{8}$

+) Xét $m=0 \Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$ (thoả mãn).

+) Xét $m>0$. Theo định lí Viète, ta có: $\left\lbrace \begin{array}{c} t_1+t_2=-\dfrac{3}{2m}<0\\[5pt] t_1t_2=-\dfrac{1}{2m}<0 \end{array}\right.$

$\Rightarrow t_1, \, t_2$ trái dấu. Suy ra phương trình chỉ có 1 nghiệm $t>0$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (thoả mãn).

+) Xét $-\dfrac{9}{8} \le m <0$. Theo định lí Viète, ta có: $\left\lbrace \begin{array}{c} t_1+t_2=-\dfrac{3}{2m}>0\\[5pt] t_1t_2=-\dfrac{1}{2m}>0 \end{array}\right.$ $\Rightarrow t_1, \, t_2>0$

Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm (loại). (Chú ý, với bài này người ta chỉ yêu cầu tìm $m\in [0;20]$ nên có thể trường hợp này.)

Vậy có 21 giá trị thoả mãn.

$\Rightarrow C$