Đáp án:

Có thể xếp chúng trên một đường tròn sao cho tổng của cả `5` tích của các cặp số đứng cạnh nhau không lớn hơn `1/5`

Giải thích các bước giải:

Gọi `5` số đó là `a,b,c,d,e` `(>=0)`

`=>a+b+c+d+e=1`

Có `(5-1)!` `=24` cách sắp xếp các số này trên một đường tròn.

Giả sử ở mỗi cách sắp xếp, tổng của cả `5` tích của các cặp số đứng cạnh nhau đều lớn hơn `1/5` suy ra tổng của tất cả các cách xếp (gọi là `S`) sẽ lớn hơn `24/5`, ta sẽ đi tìm điều mâu thuẫn.

Ta có:

`S=6\sum a(a+b+c+d+e-a)`

`=6\sum a(1-a)`

`=6\sum (a-a^2)`

`=6\sum a-6\sum a^2`

`=6.1-6\sum a^2`

`=>6-6\sum a^2>24/5`

`=>6-24/6>6\sum a^2`

`=>6/5>6\sum a^2`

`=>\sum a^2<1/5` `(1)`

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức `QM-AM`

Ta có:

`\sqrt{\frac{\sum a^2}{5}}>=\frac{\sum a}{5}=1/5`

`=>\frac{\sum a^2}{5}>=1/25`

`=>\sum a^2>=1/5` (mâu thuẫn với `1`)

`=>` Giả sử là sai

Vậy ta có điều phải chứng minh