a)

Ta có $AM=AD$ (vì $AB$ là đường trung trực của $MD$)

Ta có $AN=AD$ (vì $AC$ là đường trung trực của $ND$)

$\to AM=AN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

b)

Ta có $F\in AB$ là đường trung trực của $MD$

$\to FB$ là phân giác $\widehat{MFD}$

$\to FB$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $F$ của $\Delta EFD$

Tương tự, $EC$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $E$ của $\Delta EFD$

Mà $FB$ cắt $EC$ tại $A$

$\to DA$ là phân giác $\widehat{FDE}$

c)

Vì $DA$ là phân giác $\widehat{FDE}$

Mà $DA\bot BC$

Nên $BC$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta DEF$

Có $FB$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $F$ của $\Delta EFD$

Mà $BC$ cắt $FB$ tại $B$

Nên $EB$ là phân giác $\widehat{FED}$

Tương tự, $FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

Vậy trong $\Delta EFD$ có ba đường phân giác $DA,EB,FC$

$\to DA,EB,FC$ đồng quy

d)

Có $FB$ là phân giác $\widehat{MFD}$

Có $FC$ là phân giác $\widehat{EFD}$

Mà $\widehat{MFD}$ và $\widehat{EFD}$ là hai góc kề bù

Nên $FB\bot FC$

$\to CF\bot AB$

Tương tự $BE\bot AC$

Có $CF$ cắt $BE$ tại $H$

Nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$