Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB\perp AC, IM\perp AB, IN\perp AC\to AMIN$ là hình chữ nhật

b.Ta có $D,A$ đối xứng qua $I\to I$ là trung điểm $AD$

            $I$ là trung điểm $BC$

$\to ABDC$ là hình bình hành

Mà $AB\perp AC\to ABDC$ là hình chữ nhật

c.Ta có $IN\perp AC, AC\perp AB\to IN//AB$

Mà $I$ là trung điểm $BC\to IN$ là đường trung bình $\Delta ABC\to N$ là trung điểm $AC$

Ta có $N$ là trung điểm $AC$

            $I,K$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $IK$

$\to AICK$ là hình bình hành
Lại có $IN\perp AC\to IK\perp AC\to AICK$ là hình thoi

d.Ta có $IN\perp AC$

            $ABDC$ là hình chữ nhật

$\to AC//BD\to IN\perp BD\to IH\perp BD$

Lại có $ABDC$ là hình chữ nhật

$\to IA=IB=IC=ID$

$\to \Delta IBD$ cân tại $I$

Mà $IH\perp BD\to IH$ là phân giác $\widehat{BID}$

e.Ta có $I,N$ là trung điểm $BC, AC$

Gọi $AI\cap BN=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to \dfrac{AG}{GI}=2$

Mà $AKCI$ là hình thoi
$\to AI//CK$

$\to \dfrac{KP}{GI}=\dfrac{PN}{NG}=\dfrac{CP}{AG}$

$\to \dfrac{KP}{CP}=\dfrac{GI}{AG}=\dfrac12$

$\to KP=\dfrac12PC$