a) Vì $(d)$ và $(d')$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ (gt)

⇒ \begin{cases} OA ⊥ AM \\ OB ⊥ BP \\\end{cases} (T/c)

$\Delta OAM$ và $\Delta OBP$ có:

$\widehat{OAM} = \widehat{OBP} = 90^o$ (Vì $OA ⊥ AM ; OB ⊥ BP$)

$OA = OB (=bk)$

$\widehat{AOM} = \widehat{BOP}$ (2 góc đối đỉnh)

⇒$\Delta OAM=\Delta OBP$ (g.c.g)

⇒ $OM = OP$ (cạnh tương ứng)

⇒ $O$ là trung điểm của $MP$ 

⇒ $NO$ là đường trung tuyến $\Delta NMP$ (đ/n)$

Mà $NO$ là đường cao của $\Delta NMP$ (Vì $ON ⊥ MN$)

⇒ $\Delta NMP$ cân tại $N$ (dhnb)

b) Vì $(d) ⊥ AB; (d') ⊥ AB$ 

⇒ $(d) // (d')$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

⇒ $\widehat{AMO} = \widehat{MPB}$ (2 góc slt)

Mà $\widehat{OMI} = \widehat{MPB}$ (Vì $\Delta NMP$ cân tại $N$)

⇒ $\widehat{AMO} = \widehat{OMI}$

$\Delta AMO$ và $\Delta IMO$ có

$\widehat{OAM} = \widehat{OIM} = 90^o$ (Vì $OA ⊥ OM; OI ⊥ MN$)

$OM$ chung

$\widehat{AMO} = \widehat{OMI}$

⇒ $\Delta AMO=\Delta IMO$ (ch - gn)

⇒ $OI = OA$ (cạnh tương ứng)

Mà $OA = R ⇒ OI = R$

Mặt khác $OI ⊥ MN$ tại $I$

⇒ $MN$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$ (dhnb)

c) $OI = R$ ⇒ $I$ thuộc đường tròn $(O)$

$\Delta AIB$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nhận $AB$ làm đường kính

⇒ $\Delta AIB$ vuông tại $I$ (Định lý)

⇒ $\widehat{AIB} = 90^o$

d) $MA$ và $MI$ là hai tiếp tuyến cắt nhau ⇒ $MA = MI$
$NI$ và $NB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau ⇒ $NB = NI$

Do đó: $MA + NB = MI + NI$

      ⇒ $\dfrac{(MA + NB).AB}{2}  = \dfrac{MN.AB}{2}$

hay $S_{AMNB} = \dfrac{MN.AB}{2}$ mà $AB$ cố định 

nên $S_{AMNB}$ nhỏ nhất khi $MN$ nhỏ nhất

Kẻ $NL ⊥ (d) ⇒ NL // AB$

Dễ dàng chứng minh được tứ giác $ABNL$ là hình chữ nhật

⇒ $AB = NL$

Ta có $NM \geq NL$ (quan hệ đường xiên và đường vuông góc)

Hay $MN\geq AB$

Dấu "=" xảy ra khi $M ≡ L$

Vậy $S_{AMNB}$  đạt giá trị nhỏ nhất khi $MN ⊥ (d)$