Đáp án:

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300; 600; 900 => BD=1/2BEMà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)=> BD=CE. Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900; BD=CE; ^DBE=^ECF=600=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BDXét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)=> ^BDE=^AFD=900 =>DF⊥AC (đpcm).b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)=> Δ DEF đều (đpcm).c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EPLại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.=> O là trọng tâm ΔABC (1)Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OCXét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:AF=BD=CE^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)OA=OB=OC=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)(Do tam giác DEF đề )/

(Do tam giác DEF đều)Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:OD=OE=OF^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)OD=OE=OF (Tự c/m)=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNPhay O là trọng tâm ΔMNP (3)Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

Giải thích các bước giải: