Lưu ý:

1 số chính phương chẵn khi chia $8$ dư $0,4$

1 số chính phương lẻ khi chi $8$ dư $1$

Trường hợp: $x,y$ chẵn

$\to x^2≡0,4\pmod{8},y^2≡0,4\pmod{8}$

$*) x^2≡0\pmod{8}, y^2≡0\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)≡(-1).(-1)≡1\pmod{8}\\2013≡5\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)+2013≡6\pmod{8}\\\to z^2≡6\pmod{8}$

Hiển nhiên vô lí vì không có số chính phương nào chia $8$ dư $6$

$*) x^2≡4\pmod{8},y^2≡4\pmod{8}$

$\to (x^2-1)(y^2-1)≡3.3≡1\pmod{8}\\2013≡5\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)+2013≡6\pmod{8}\\\to z^2≡6\pmod{8}$

Lập luận như trên thì trường hợp này cũng loại.

$*)x^2≡0\pmod{8}, y^2≡4\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)≡-3\pmod{8}\\2013≡5\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)+2013≡2\pmod{8}\\\to z^2≡2\pmod{8}$

Hiển nhiên vô lí vì không có số chính phương nào chia $8$ dư $2$

$*) x^2≡4\pmod{8},y^2≡0\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)≡-3\pmod{8}\\2013≡5\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)+2013≡2\pmod{8}\\\to z^2≡2\pmod{8}$

Lập luận như trên thì trường hợp này cũng loại.

Thường hợp: $x,y$ lẻ

$\to x^2≡1\pmod{8},y^2≡1\pmod{8}\\\to (x^2-1)(y^2-1)+2013≡0.0+5≡5\pmod{8}\\\to z^2≡5\pmod{8}$

Hiển nhiên vô lí vì không có số chính phương nào chia $8$ dư $5$

Tóm lại tất cả trường hợp có thể xảy ra đều vô lí.

$\to$Pt không có nghiệm nguyên.