Ta có:

`(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6`

Gọi $r(x)$ là dư  của phép chia $f(x)$ cho $(x^2-5x+6)$.

Vì bậc của $r(x)$ nhỏ hơn bậc của $(x^2-5x+6)$  nên $r(x)$ có dạng $ax+b$ $(a;b\in R)$

Ta có: 

`f(x) = (x^2-5x+6).(1-x^2)+r(x)`  $\forall x$

`=>f(x)-r(x)=(x^2-5x+6).(1-x^2)`

`=>f(x)-r(x)=(x-2)(x-3)`

`=>f(x)-r(x)` chia hết cho $(x-2)$ và $(x-3)$

`=>f(x);r(x)` cùng số dư khi chia cho $(x-2)$ là $2$ và khi chia cho $(x-3)$ dư là $7$

**Vì $r(x)$ có dạng $ax+b$ nên thương của $r(x)$ chia $(x-2)$ và $(x-3)$ bằng $a$

`=>r(x)=a(x-2)+2`

`\qquad r(x)=a(x-3)+7`

`=>a(x-2)+2=a(x-3)+7`

`<=>ax-2a+2=ax-3a+7`

`<=>-2a+3a=7-2`

`<=>a=5`

Thay `a=5` vào `r(x)=a(x-2)+2` ta có:

`\qquad r(x)=5(x-2)+2`

`<=>r(x)=5x-8`

`\qquad f(x)= (x^2-5x+6).(1-x^2)+r(x)`

`<=>f(x)=x^2-x^4-5x+5x^3+6-6x^2+5x-8`

`<=>f(x)=-x^4+5x^3-5x^2-2`

Vậy `f(x)=-x^4+5x^3-5x^2-2`

Đáp án: $ f(x) = - x^{4} + 5x³ - 5x² - 2$

Giải thích các bước giải:

$f(x)$ chia $(x - 2)$ dư $2 ⇒ f(x) = (x - 2)g(x) + 2 (1)$

Thay $x = 2$ vào $(1) ⇒ f(2) = (2 - 2)g(2) + 2 = 2 (2)$

$f(x)$ chia $(x - 3)$ dư $7 ⇒ f(x) = (x - 3)h(x) + 7 (3)$

Thay $x = 3$ vào $(3) ⇒ f(3) = (3 - 3)h(3) + 7 = 7(4)$

$f(x)$ chia $x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ được thương $1 - x²$ và còn dư:

$ ⇒ f(x) = (x - 2)(x - 3)(1 - x²) + ax + b (5)$

Thay $x = 2$ vào $(5) ⇒ f(2) = (2 - 2)(2 - 3)(1 - 2²) + a.2 + b (6)$

Từ $(2); (6) ⇔ 2a + b = 2 (*)$

Thay $x = 3$ vào $(5) ⇒ f(3) = (3 - 2)(3 - 3)(1 - 3²) + a.3 + b (7)$

Từ $(4); (7) ⇔ 3a + b = 7 (**)$

Lấy $(**) - (*) : ⇒ a = 5 ⇒ b = - 8$

Thay vào $(5) : f(x) = (x - 2)(x - 3)(1 - x²) + 5x - 8$

$ ⇔ f(x) = - x^{4} + 5x³ - 5x² - 2$