`a)`

Ta có `Ax` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` tại `A`

  `⇒Ax⊥BC`

`⇒\hat{AMO}=90^o`

`ΔABC` nội tiếp  đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ ΔABC` vuông tại `C`

`⇒AC⊥BD`

Xét `ΔADC` vuông tại `C` có 

  `MC` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AM`

 `⇒MC=AM=MD=(AM)/2` (Tính chất đường trung tuyến trong `Δ` vuông)

Xét `ΔAOM` và `ΔCOM` có

     `OA=OC` (bán kính của đường tròn tâm `O` )

       `AM = MC (cmt)`

       `OM` chung

`⇒ΔAOM=ΔCOM (c.c.c)`

`⇒ \hat{AMO} = \hat{CMO} =90^o` (2 góc tương ứng)

`⇒ OC⊥MC` 

Mà `C ∈ ` đường tròn `(O)`

`⇒ M` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` tại `C`

`b)`

Ta có  `OA=OC` (bán kính của đường tròn tâm `O` )

            `AM = MC (cmt)`

      `⇒ MO` là đường trung trực của `AC`

      `⇒ MO ⊥AC`  tại `I`

+) $C$ thuộc $(O)$ đường kính $AB$

`=>∆ACB` vuông tại $C$

`=>AC`$\perp BC$

`=>AC`$\perp BD$

$∆ACD$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến (vì $M$ là trung điểm $AD$)

`=>CM=1/ 2 AD=AM`

+) $AM$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$

`=>\hat{MAO}=90°`

+) Xét $∆COM$ và $∆AOM$ có:

*$OM$ chung

*$CM=AM$ (c/m trên)

*$OC=OA$ (bán kính $(O)$)

`=>∆COM=∆AOM`(c-c-c)

`=>\hat{MCO}=\hat{MAO}=90°`

`=>MC`$\perp OC$

Mà $C$ thuộc $(O)$

`=>MC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ (đpcm)

+) Ta có:

*$AM=CM$ (c/m trên)

*$OC=OA$ (bán kính $(O)$)

`=>MO` là đường trung trực của $AC$

`=>MO` $\perp AC$ tại trung điểm $I$ của $AC$ (đpcm)