Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BMD,\Delta CNE$ có:

$\hat B=\hat C$

$BM=CN$

$\widehat{BDM}=\widehat{CEN}(=90^o)$

$\to \Delta BMD=\Delta CNE$(cạnh huyền-góc nhọn) 

b.Từ câu a $\to MD=NE$

$\to ME^2=MD^2+DE^2=NE^2+DE^2=ND^2$

$\to ME=ND$

c.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to \Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to HB=HC$

$\to H$ là trung điểm $BC\to HB=HC=\dfrac12BC=8$

Mà $\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\to AH^2=AB^2-BH^2=225$

$\to AH=15$

d.Xét $\Delta MDE,\Delta NED$ có:

Chung $DE$

$\widehat{MDE}=\widehat{NED}(=90^o)$

$MD=NE$

$\to \Delta MDE=\Delta NED(c.g.c)$

$\to \widehat{MED}=\widehat{NDE}$

$\to \widehat{IED}=\widehat{IDE}$

$\to \Delta IDE$ cân tại $I$

$\to ID=IE$

$\to IM=ME-IE=ND-ID=IN$

Mà $AM=AB-BM=AC-CN=AN$

$\to A, I\in$ trung trực $MN$

$\to AI\perp MN$

Ta có: $AM=AN\to \Delta AMN$ cân tại $A\to \widehat{AMN}=90^o-\dfrac12\hat A=\widehat{ABC}\to MN//BC$

$\to AI\perp BC$

Mà $AH\perp BC$

$\to A, I, H$ thẳng hàng