Đáp án:

`a)` `AB: 5x +2y-13=0; BC: x-y-4=0;`

`CA: 2x+5y-22=0`

`b)` `AH: x+y-5=0; AM: x+y-5=0`

Giải thích các bước giải:

`a)`  `A(1;4); B(3;-1); C(6;2)`

+) `AB` có `VTCP \vec{u}=\vec{AB}=(2;-5)`

`=>AB` có `VTPT \vec{n}=(5;2)`

`=>AB`$\begin{cases}\text{Đi qua } A(1;4)\\VTPT\vec{n}=(5;2)\end{cases}$

Phương trình cạnh `AB` là:

`AB: 5.(x-1)+2.(y-4)=0`

`<=> 5x +2y-13=0`

$\\$

+) `BC` có `VTCP \vec{u}=\vec{BC}=(3;3)`

`=>BC` có `VTPT \vec{n}=(1;-1)`

`=>BC`$\begin{cases}\text{Đi qua } C(6;2)\\VTPT\vec{n}=(1;-1)\end{cases}$

Phương trình cạnh `BC` là:

`BC: 1.(x-6)-1.(y-2)=0`

`<=> x-y-4=0`

$\\$

+) `CA` có `VTCP \vec{u}=\vec{CA}=(-5;2)`

`=>CA` có `VTPT \vec{n}=(2;5)`

`=>CA`$\begin{cases}\text{Đi qua } A(1;4)\\VTPT\vec{n}=(2;5)\end{cases}$

Phương trình cạnh `CA` là:

`CA: 2.(x-1)+5.(y-4)=0`

`<=> 2x+5y-22=0`

Vậy: 

`AB: 5x +2y-13=0`

`BC: x-y-4=0`

`CA: 2x+5y-22=0`

$\\$

`b)` Vì `AH` là đường cao `\Delta ABC`

`=>AH`$\perp BC$

`=>AH` nhận `\vec{BC}=(3;3)` làm `VTPT`

`=>AH:` $\begin{cases}\text{Đi qua } A(1;4)\\VTPT\vec{n}=(3;3)\end{cases}$

`=>` Phương trình đường cao `AH:`

`AH: 3.(x-1)+3(y-4)=0`

`<=> 3x+3y-15=0<=> x+y-5=0`

$\\$

Với `M` là trung điểm $BC$

`=>`$\begin{cases}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3+6}{2}=\dfrac{9}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

`=> M(9/2;1/2)`

`A(1;4)`

`=>AM` có `VTCP\vec{u}=\vec{AM}=(7/2; -7/2)`

`=>AM` có `VTPT \vec{n}=(1;1)`

`=>AM: ` $\begin{cases}\text{Đi qua } A(1;4)\\VTPT\vec{n}=(1;1)\end{cases}$

`=>` Phương trình trung tuyến $AM$:

`AM: 1.(x-1)+1.(y-4)=0`

`<=> x+y-5=0`

________

Hoặc  `\vec{AB}=(2;-5);\vec{AC}=(5;-2)`

`=>AB=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}`

`\qquad AC=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}`

`=>AB=AC`

`=>\Delta ABC` cân tại $A$

`=>` Đường cao `AH` đồng thời là đường trung tuyến

Vì `AH: x+y-5=0`

`=>AM: x+y-5=0`