$a)ABDC$ có 2 đường chéo $AD$ mà $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường

$=>ABDC$ là hình bình hành

$=>AC=BD$

$b)ABDC$ là hình bình hành

$\widehat{BAC}=90^o$

$=>ABDC$ là hình chữ nhật

$c)ABDC$ là hình chữ nhật

$=>AB//DC$

$=>\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta DEC$

$AB=DC\\ \widehat{AHB}=\widehat{DEC}=90^o\\ \widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ =>\Delta AHB = \Delta DEC\\ =>AH=DE(1)\\ AH \perp BC, DE \perp BC\\ =>AH//DE(2)$

$(1)(2)=>AHDE$ là hình bình hành

$d)BC,AD$ cắt nhau tại $M$

$AHDE$ là hình bình hành hay hình thang

$AHDE$ có $I,K$ lần lượt là trung điểm $AH,DE$

$=>IK$ là đường trung bình $\Delta AHDE$

$=>IK//AE//HD(3)$

$\Delta AHD$ có $I,M$ lần lượt là trung điểm $AH,AD$

$=>IM$ là đường trung bình $\Delta AHD$

$=>IM//HD(4)$

$(3)(4)=>I,K,M$ thẳng hàng

$=>IK,BC,AD$ đồng quy tại $M$

a) Xét tứ giác $ABDC$ có:

$BM = MC = \dfrac12BC\quad (gt)$

$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$

Do đó $ABDC$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

$\to AC = BD$ (hai cạnh đối của hình bình hành)

b) Ta có:

$ABDC$ là hình bình hành (câu a)

Ta lại có:

$\widehat{BAC} = 90^\circ\quad (gt)$

Do đó $ABDC$ là hình chữ nhật

c) Xét $ΔAHM$ và $ΔDEM$ có:

$\widehat{H} = \widehat{E} = 90^\circ$

$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$

$\widehat{AMH} = \widehat{DME}$ (đối đỉnh)

Do đó $ΔAHM = ΔDEM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\to HM = ME$ (hai cạnh tương ứng)

$\to HM = ME = \dfrac12HE$

Xét tứ giác $AHDE$ có:

$HM = HE = \dfrac12HE\quad (cmt)$

$AM = MD = \dfrac12AD\quad (gt)$

Do đó $AHDE$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

d) Ta có:

$AHDE$ là hình bình hành (câu c)

$\to \begin{cases}AH = DE\\AH//DE\end{cases}$

Ta lại có:

$AI = IH = \dfrac12AH\quad (gt)$

$DK = KE = \dfrac12DE\quad (gt)$

$\to \begin{cases}AI = DK\\AI//DK\end{cases}$

$\to AIDK$ là hình bình hành

$\to AD;\, IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $(1)$

Bên cạnh đó:

$ABDC$ là hình bình hành (câu a)

$\to AD;\, BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $(2)$

$(1)(2)\to IK;\, BC;\, AD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\to IK;\, BC;\, AD$ đồng quy