$+) \quad M = \dfrac{1}{2(x-1)^2 + 3}$

Ta có:

$\quad (x-1)^2 \geq 0\quad \forall x$

$\to 2(x-1)^2 \geq 0$

$\to 2(x-1)^2 + 3 \geq 3$

$\to \dfrac{1}{2(x-1)^2 + 3} \leq \dfrac{1}{3}$

$\to M \leq \dfrac{1}{3}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy GTLN của $M$ là $\dfrac13 \Leftrightarrow x = 1$

$+) \quad N = \dfrac{27 - 2x}{12 - x}$

$\to N = \dfrac{3 + 24 - 2x}{12- x}$

$\to N = \dfrac{3 + 2(12 - x)}{12- x}$

$\to N = \dfrac{3}{12- x} + 2$

$N$ lớn nhất $\Leftrightarrow \dfrac{3}{12 - x}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow 12 - x$ nhỏ nhất

$\to$ Không xác định được $x$

$\to N$ không có GTLN

$+) \quad  P = \dfrac{x^2 + 8}{x^2 + 2}$

$\to P = \dfrac{-3x^2 + 4x^2 + 8}{x^2 + 2}$

$\to P = \dfrac{-3x^2 + 4(x^2 + 2)}{x^2 + 2}$

$\to P = -\dfrac{3x^2}{x^2 + 2} + 4$

Ta có:

$\quad x^2 \geq 0\quad \forall x$

$\to -3x^2 \leq 0$

$\to - \dfrac{3x^2}{x^2 + 2} \leq 0$

$\to - \dfrac{3x^2}{x^2+ 2} + 4 \leq 4$

$\to P \leq 4$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x=  0$

Vậy GTLN của $P$ là $4\Leftrightarrow x = 0$

Đáp án:

`↓↓↓` 

Giải thích các bước giải:

`M=1/(2(x-1)^2+3)`

Ta có: `2(x-1)^2>=0 ∀x`

`=> 2(x-1)^2+3>=3`

`=> 1/(2(x-1)^2+3)<=1/3`

Dấu "=" xảy ra `<=> (x-1)^2=0`

`=> x=1`

Vậy `M_(max)=1/3 <=> x=1`

`---`

`N=(27-2x)/(12-x)=(24-2x+3)/(12-x)=2+3/(12-x)`

`N` đạt `max <=> 12-x max`

`=>` Không xác định được `x`

`=>` Không có `N_(max)`

`---`

`P=(x^2+8)/(x^2+2)=(-3x^2 + 4x^2 + 8)/(x^2+2)=(-3x^2 + 4(x^2 + 2))/(x^2+2)`

`=-(3x^2)/(x^2+2)+4`

Ta có: `x^2>=0`

`=> -3x^2+2<=0`

`=> (-3x^2)/(x^2+2)<=0`

`=> -(3x^2)/(x^2+2)+4<=4`

Dấu "=" xảy ra `<=> x^2=0`

`=> x=0`

Vậy `P_(max)=4 <=> x=0`