a, Vì $ΔMAB$ nội tiếp $(O)$ có $AB$ là đường kính

$⇒ΔMAB$ vuông ở $M$

Ta có: $\widehat{AOD}=\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$

$\widehat{MOC}=\widehat{COB}=\dfrac{1}{2}\widehat{MOB}$

$⇒\widehat{DOM}+\widehat{MOC}=\dfrac{1}{2}(\widehat{AOM}+\widehat{MOB})$

$⇒\widehat{DOC}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}=90^{0}$

$⇒\widehat{DOC}=\widehat{BMA}$ $(1)$

Gọi $E=DO∩MA$

$⇒E$ là trung điểm của $AM$

Xét $ΔABM$ có $OE$ là đường trung bình

$⇒OE//MB$

$⇒\widehat{CDO}=\widehat{CMB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MB}$ Mà $\widehat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MB}$$⇒\widehat{MAB}=\widehat{CDO}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $ΔDOC\simΔAMB$

$⇒\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{MB}{MA}$

b, Vì $ΔOCD$ vuông ở $O$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm $N$ của $CD$

$⇒ON$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $ΔOCD$

Xét hình thang $ABCD$ có $ON$ là đường trung bình

$⇒ON//CB$

$⇒ON⊥AB$

$⇒ON<NA$ và $ON<NB$

Mà $O∈AB$ nên đường tròn ngoại tiếp $ΔOCD$ tiếp xúc với $AB$

c, $S=S_{ΔADM}+S_{ΔBCM}=S_{ABCD}-S_{ΔMAB}=\dfrac{1}{2}.(AD+BC).AB-\dfrac{1}{2}.MA.MB$

$⇒S≥\dfrac{1}{2}.(AD+BC).AB-\dfrac{1}{4}(MA^{2}+MB^{2})$

$⇒S≥ON.AB-\dfrac{1}{4}AB^{2}$

Để $S_{min}$ thì $\begin{cases}ON_{min}\\MA=MB\end{cases}$

Vì $N∈$ giao tuyến $CD$, mà $M$ là tiếp điểm, $MA=MB$

$⇒S_{min}$ khi $OM⊥AB$

Khi đó $ON=\dfrac{1}{2}AB$

$⇒S=\dfrac{1}{2}AB^{2}-\dfrac{1}{4}AB^{2}=\dfrac{1}{4}AB^{2}$