a) Xét $∆AIF$ và $∆AIH$ có:

$HI = IF =\dfrac12HF\quad (gt)$

$\widehat{HIA}=\widehat{HIF}=90^\circ\quad (HI\perp AB)$

$AI:$ cạnh chung

Do đó $∆AIF =∆AIH, (c.g.c)$

b) Ta có:

$∆AIF =∆AIH$ (câu a)

$\to AF= AH$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có:

$HI = IF =\dfrac12HF\quad (gt)$

Do đó:

$AI$ là đường trung trực của $HF$

mà $B\in AI$

nên $BF = BH$

Xét $∆ABF$ và $∆ABH$ có:

$AF = AH\quad (cmt)$

$BF = BH \quad (cmt)$

$AB:$ cạnh chung

Do đó $∆ABF=∆ABH\, (c.c.c)$

$\to \widehat{AFB}=\widehat{AHB}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\to BF\perp AF$

c) Sửa đề: $HK\perp AC$

Ta có:

$∆AIF =∆AIH$ (câu a)

$\to \widehat{HAI}=\widehat{FAI}$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{HAF}=2\widehat{HAI}=2\widehat{HAB}$

Xét $∆HAK$ và $∆EAK$ có:

$KH = KE\quad (gt)$

$\widehat{HKA}=\widehat{EHA}=90^\circ \quad (HK\perp AC)$

$AK:$ cạnh chung

Do đó $∆HAK=∆EAK\, (c.g.c)$

$\to \widehat{HAK}=\widehat{EAK}$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{HAE}= 2\widehat{HAK}= 2\widehat{HAC}$

Ta được:

$\widehat{HAF}+\widehat{HAE}$

$=2\widehat{HAB} +2\widehat{HAC}$

$= 2(\widehat{HAB} +\widehat{HAC})$

$= 2\widehat{BAC}$

$= 2.90^\circ = 180^\circ$

$\to E,\, A,\, F$ thẳng hàng $(1)$

Mặt khác:

$∆HAK=∆EAK\quad (cmt)$

$\to AH = AE$ (hai cạnh tương ứng)

mà $HK = KE \quad (gt)$

nên $AK$ là đường trung trực của $AE$

mà $C\in AK$

$\to CH = CE$

Xét $∆AHC$ và $∆AEC$ có:

$AH = AE\quad (cmt)$

$CH = CE\quad (cmt)$

$AC:$ cạnh chung

Do đó $AHC=∆AEC\, (c.c.c)$

$\to \widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^\circ$ (hai góc tương ứng)

$\to CE\perp AE \qquad (2)$

Ta lại có: $BF\perp AF\quad (3)$ (câu b)

Từ $(1)(2)(3)\to BF//CE\quad (\perp EF)$

Xin hay nhất ạ