$\underline{\text{A - CM: TỨ GIÁC CDHE NỘI TIẾP}}$

+ Có: AD là đường cao (gt) ⇒ AD ⊥ BC tại D ⇒ $\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90^o$

         BE là đường cao (gt) ⇒ BE ⊥ AC tại E ⇒ $\widehat{AEB} = \widehat{BEC} = 90^o$

+ Xét tứ giác CDHE có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{HDC} = 90^o$}\\\text{$\widehat{HEC} = 90^o$}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ $\widehat{HDC} + \widehat{HEC} = 180^o$}$

2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ CDHE là tứ giác nội tiếp (DHNB).

$\\$

$\underline{\text{B - CM: DA.DM = DB.DC}}$

+ Xét tứ giác ABMC có:

A, B, M, C ∈ (O)

⇒ Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) (đ/n)

+ Xét (O) ngoại tiếp tứ giác ABMC có:

$\widehat{MBC}$ và $\widehat{MAC}$ cùng chắn $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$

⇒ $\widehat{MBC} = \widehat{MAC}$ (t/c)

+ Xét ΔBDM và ΔADC có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{BDM} = \widehat{ADC}$ (2 góc đối đỉnh)}\\\text{$\widehat{DBM} = \widehat{DAC}$ (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔBDM $\backsim$ ΔADC (g - g)}$

⇒ $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{DM}{DC} $ (cct/ứ)

`⇒ BD.DC = AD.DM `

$\\$

$\underline{\text{C - CM: BE // NC, BH = NC}}$

`*` $ BE // NC$

+ Xét (O) có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{ACN}$ là góc nội tiếp chắn $\mathop{AN}\limits^{\displaystyle\frown}$}\\\text {AN là đường kính}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ $\widehat{ACN} = 90^o$ (t/c)}$

⇒ NC ⊥ AC tại C 

+ Có: $\left.\begin{matrix} \text{BE ⊥ AC (cmt)}\\\text{NC ⊥ AC (cmt) }\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ BE // NC (q.hệ từ ⊥ → //)}$

`*` $CM: BH = NC$

Gọi giao điểm của CH và AB là K

+ Xét ΔABC có:

$\left.\begin{matrix} \text{AD là đường cao (gt)}\\\text{BE là đường cao (gt)}\\ \text{AD ∩ BE tại H (gt)} \end{matrix}\right\}\text{⇒ H là trực tâm ΔABC (đ/n)}$

`⇒` CK là đường cao của ΔABC (t/c)

`⇒` CK ⊥ AB tại K 

+ Xét (O) có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{ABN}$ là góc nội tiếp chắn cung AN }\\\text{AN là đường kính }\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ $\widehat{ABN} = 90^o$ (t/c)}$

`⇒` AB ⊥ BN tại B 

+ Có:

$\left.\begin{matrix} \text{CK ⊥ AB (cmt)}\\\text{AB ⊥ BN (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ CK // AB (q.hệ từ ⊥ → //)}$

+ Xét tứ giác BHCN có:

$\left.\begin{matrix} \text{BH // CN (cmt)}\\\text{BN // HC (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ BHCN là hình bình hành (DHNB)}$

`⇒` BH = NC (t/c)