a, Áp dụng định lí Py-ta-go vào `ΔABC` vuông ở `A`:

⇒ `BC^2 = AC^2 + AB^2`

⇔`BC^2 = 20^2 + 15^2`

⇔ `BC^2 = 625`

⇔`BC = 25cm`

Xét `ΔABH` và `ΔCBA` ta có:

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{BHA}$ = $\widehat{BAC}$ = `90^o`

⇒ `ΔABH` $\backsim$ `ΔCBA` (g - g)

⇒ `(AB)/(BC) = (AH)/(AC)` (Tính chất ở hai tam giác đồng dạng)

⇔ `(15)/(25) = (AH)/(20)`

⇔ `15.20 = 25.AH`

⇔ `25.AH = 300`

⇔ `AH = 12cm`

b, Gọi giao điểm của `EF` và `AH` là `O`

Xét tứ giác `AEHF` ta có:

$\widehat{EAF}$ = $\widehat{AEH}$ = $\widehat{HFA}$ = `90^o`

⇒ `AEHF` là hình chữ nhật

⇒ `EF = AH` (Đường chéo ở hình chữ nhật)

⇒ `DE = DA` (Tính chất ở hình chữ nhật)

⇒ `ΔDEA` là `Δ` cân

⇒ $\widehat{AED}$ = $\widehat{DAE}$ 

mà $\widehat{DAE}$ = $\widehat{BCA}$ (Do `ΔABH` $\backsim$ `ΔCBA`)

⇒ $\widehat{AEF}$ = $\widehat{BCA}$ 

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` ta có:

$\widehat{AEF}$ = $\widehat{BCA}$ 

$\widehat{A}$ chung

⇒ `ΔAEF` $\backsim$ `ΔACB` (g - g

c, Có `S_ (ABC)` = `1/2.AB.AC` = `1/2. 15.20` = `150cm^2`

Lại có: `ΔAEF` $\backsim$ `ΔACB` (cmt)

⇒ `(S_ (AEF))/(S_ (ACB))` = $(\frac{EF}{BC})^{2}$ = $(\frac{12}{25})^{2}$ = `(144)/(625)`

⇔ `(S_ (AEF))/(150)` = `(144)/(625)`

⇒ `S_(AEF)` = `150.(144)/(625)`

⇔ `S_(AEF)` = `34,56cm^2`