Lời giải:

a, Xét `\triangleABD \bot` tại `D` và \triangleHBD \bot` tại `H` có:

`\hat{ABD} = \hat{HBD}` (Vì `AD` là tia phân giác của `\hat{ABC}`)

`BD` chung

`=> \triangleABD = \triangleHBD` (Cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AD = HD` (Hai cạnh tương ứng)

b, Xét `\triangleDHC \bot` tại `H` có:

`HD < DC` (Vì `DC` là cạnh huyền)

Mà `AD = HD` (Theo câu `a`)

`=> AD < DC`

c, Ta có:

`AB = HB` (Vì `\triangleABD = \triangleHBD`)

Xét `\triangleADK \bot` tại `A` và `\triangleHDC \bot` tại `H` có:

`AD = HD` (Theo câu `a`)

`\hat{ADK} = \hat{HDC}` (Hai góc đối đỉnh)

`=> \triangleADK = \triangleHDC` (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

`=> AK = HC` (Hai cạnh tương ứng)

Mà:

$\left.\begin{matrix} AB = HB\ (cmt) \\ AK = HC\ (cmt) \\ AB + AK = BK \\ HB + HC = BC \end{matrix}\right\}\Rightarrow BK = BC$

`=> \triangleKBC` cân tại `B`

$\text{a, xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có :}$

$\text{BD cạnh chung}$

$\text{∠B1 = ∠B2 (BD là tia phân giác)}$

$\text{⇒ ΔBAD = ΔBHD (ch-gn) }$

$\text{⇒ AD = HD (tương ứng)}$

-------------------------------------------------------------------------------------

$\text{b, xét ΔDHC vuông tại H có :}$

$\text{DC là cạnh huyền }$

$\text{⇒ HD < DC}$

$\text{mà AD = HD (cmt)}$

$\text{⇒ AD < DC }$

--------------------------------------------------------------------------------------

$\text{c, xét ΔKAD vuông tại A và ΔCHD vuông tại H có :}$

$\text{AD = HD (cmt)}$

$\text{∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh)}$

$\text{⇒ ΔKAD = ΔCHD (cgv-gnk)}$

$\text{⇒ AK = HC (tương ứng)}$

$\text{mà BA = BH (ΔBAD = ΔBHD)}$

$\text{⇒ BA + AK = BH + HC }$

$\text{⇒ BK = BC}$

$\text{⇒ ΔKBC cân tại B}$

---------------------------------------------------------------------------------------

$\text{chú thích : }$

$\text{ch - gn : cạnh huyền góc nhọn}$

$\text{cgv- gnk : cạnh góc vuông góc nhọn kề }$

$\text{cmt : chứng minh trên}$