Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to AM\perp MB, AE\perp AB$

$\to \widehat{FMK}=\widehat{FEK}=90^o$

$\to EFMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $KF$

2.Ta có $AI$ là tiếp tuyến của $(O)\to IA\perp AB$

Mà $AM\perp MB\to AM\perp BI$

$\to IA^2=IM.IB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

3.Ta có $BE\perp AE\to BE\perp AF$

Do $AF$ là phân giác $\widehat{MAI}, IA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{FBE}=\widehat{MBE}=\widehat{EAM}=\widehat{FAM}=\widehat{AIF}=\widehat{ABE}$

$\to BE$ là phân giác $\widehat{ABF}$

$\to \Delta ABF$ có đường cao đồng thời là phân giác

$\to \Delta ABF$ cân tại $B$

4.Ta có $AF$ là phân giác $\widehat{IAM}\to AE$ là phân giác $\widehat{HAK}$

Mà $AE\perp EB\to AE\perp HK\to \Delta AHK$ cân tại $A\to AH=AK$

Vì $ \Delta ABF$ cân tại $B, BE\perp AF$

$\to BE$ là trung trực của $AF\to HF=HA=AK=KF$

$\to AKFH$ là hình thoi

5.Ta có $AKFH$ là hình thoi

$\to FK//AI$

Để $AKFI$ là nội tiếp

$\to \widehat{HKA}=180^o-\widehat{IFK}=\widehat{FIA}$

$\to \widehat{MAI}=\widehat{MIA}$

$\to \Delta MAI$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{MAI}=45^o$

$\to \widehat{MBA}=\widehat{MAI}=45^o$

$\to \Delta MAB$ vuông cân tại $M$

$\to M$ nằm chính giữa cung $AB$