Đáp án+Giải thích các bước giải:

Kẻ đường cao $AH$ ta được tam giác $ABH$ vuông tại $H.$  

Ta có: $BH =  \frac{1}{2} BC =  \frac{1}{2}. 12= 6(cm)$ (t/c tam giác cân)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta được:

$AH=\sqrt[]{AB^2-HB^2}=\sqrt[]{10^2-6^2}=8(cm)$ 

Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là:

$p = \frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+10+12}{2} =16(cm)$ 

Theo Hê - rông, diện tích tam giác $ABC$ là:
$S= \sqrt[]{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt[]{16(16-10)(16-10)(16-12)}=48(cm^2)$ 

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:

$r=IH=\frac{S}{p}=\frac{48}{16} =3(cm)$ 

Do $AH=8; IH=3⇒AI=8-3=5(cm)$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $AIN$ vuông tại $N$ ta được:

$AN=\sqrt[]{AI^2-NI^2}=\sqrt[]{5^2-3^2}=4(cm)$ 

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta được: 

$NI^2=IK.AI⇒3^2=IK.5⇒9=IK.5⇒IK=\frac{9}{5}=1,8(cm)$ 

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $KNI$ vuông tại $K$ ta được:

$NK=\sqrt[]{NI^2-IK^2}=\sqrt[]{3^2-1,8^2}=2,4(cm)$ 

$⇒MN=2,4. 2=4,8(cm)$

Vậy $MN=4,8 cm$