`a)` Ta có : `ΔABC⊥A,hatA=90^0,hatC=30^0` theo tính chất `3` góc trong `Δ` ta có : 

`hatA+hatB+hatC=180^0`

`=>B=180^0-A-C=60^0`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHD` có : 

`AH` chung

`hat{AHB}=hat{AHC}=90^0`

`BH=DH` $(gt)$

`=>ΔAHB=ΔAHD(c-g-c)`

`=>AB=AD(2` cạnh tương ứng `)`

`=>ΔABD` cân đỉnh `A` có `hatB=60^0` nên `ΔABD` đều 

`b)ΔABD` đều `=>hat{BAD}=60^0`

`=>hat{EAC}=hatA-hat{BAD}=30^0`

Xét `ΔHAC` và `ΔECA` có : 

`AC` chung 

`hat{HCA}=hat{EAC}=30^0`

`=>ΔHAC=ΔEAC(ch-gn)`

`=>HA=EC(2` cạnh tương ứng `)`

`c)ΔHAC=ΔEAC=>AE=CH(2` cạnh tương ứng `)(1)`

`ΔDAC` có : `hat{DAC}=hat{DCA}=30^0=>ΔDAC` cân đỉnh `D` nên `AD=CD(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>AE-AD=CH-CD`

`=>DE=DH=>ΔDHE`  

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `a)` Xét $\triangle$$AHB$ vuông tại `H` và $\triangle$$AHD$ vuông tại `H` có:

`AH:` chung

`HD=HB(` gt)

=> $\triangle$$AHB$ `=` $\triangle$$AHD$`(cgv-cgv)`

=> `AB=AD(2` cạnh tương ứng)

=> $\triangle$$ABD$ cân tại `A``(1)`

Ta có: $\widehat{A}$ `+` $\widehat{B}$ `+` $\widehat{C}$ `=180^o`( định lý tổng `3` góc)

=> `90^0+` $\widehat{B}$ `+30^o=180^o`

=> $\widehat{B}$ `=60^o``(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

$\triangle$$ABD$ là $\triangle$ đều `(đpcm)`

`b)` $\triangle$$ABD$ là tam giác đều.

$\widehat {BAD}=60^0,\widehat {EAC}=90^0–60^0=30^o$

Xét $\triangle$$AHC$ vuông tại `H` và $\triangle$$CEA$ vuông tại `E` có:

`AC:` chung

$\widehat {EAC}=\widehat {HCA}=30^0$

=> $\triangle$$AHC$ `=` $\triangle$$CEA$`(ch-gn)`

=> `AH=CE(2` cạnh tương ứng)`(đpcm)`

`c)` Ta có: $\triangle$$DAC$ cân tại `D`

=> `DA=DC`

Ta có: $\triangle$$DAC$ `=` $\triangle$$CEA$

=> `HC=EA(2` cạnh tương ứng)

=> $\triangle$$DHE$ cân tại `D`

Xét `2` $\triangle$ cân `DAC` và `DEH` có :

$\widehat {ADC}=\widehat {EDC}$( đối đỉnh)

=> $\widehat {DEH}=\widehat {EAC}$

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong

=> $EH//AC$`(đpcm)`