`a)` Xét `\DeltaABE` và `\DeltaACK` có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{AEB}=\hat{AKC}=90°`

`=>\DeltaABE `$\backsim $ `\DeltaACK` (g-g)

$\\$

`b)` Xét `\DeltaHKB` và `\DeltaHEC` có:

`\qquad \hat{HKB}=\hat{HEC}=90°`

`\qquad \hat{BHK}=\hat{CHE}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\DeltaHKB` $\backsim $ `\DeltaHEC` (g-g)

`=>{HK}/{HE}={HB}/{HC}`

 `=>HK.HC=HE.HB`

$\\$

`c)` Xét `\DeltaABC` có:

`BE; CK` là hai đường cao

`BE` cắt $CK$ tại $H$

`=>H` là trực tâm `\DeltaABC`

Mà $AH$ cắt $BC$ tại $D$ (gt)

`=>AD`$\perp BC$ tại $D$

$\\$

Xét `\DeltaADC` và `\DeltaBEC` có:

`\qquad \hat{C}` chung

`\qquad \hat{ADC}=\hat{BEC}=90°`

`=>\DeltaADC` $\backsim $ `\DeltaBEC` (g-g)

`=>{AC}/{BC}={DC}/{EC}`

`=>{AC}/{DC}={BC}/{EC}`

$\\$

Xét `\DeltaABC` và `\DeltaDEC` có:

`\qquad \hat{C}` chung

`\qquad {AC}/{DC}={BC}/{EC}`

`=>\DeltaABC` $\backsim $ `\DeltaDEC` (c-g-c)

`=>\hat{ABC}=\hat{DEC}` $(1)$

$\\$

Vì `\DeltaABE`$\backsim$ `\DeltaACK` (câu a)

`=>{AB}/{AC}={AE}/{AK}`

`=>{AB}/{AE}={AC}/{AK}`

Xét `\DeltaABC` và `\DeltaAEK` có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad {AB}/{AE}={AC}/{AK}`

`=>\DeltaABC` $\backsim$ `\DeltaAEK` (c-g-c)

`=>\hat{ABC}=\hat{AEK}\ (2)`

`\qquad \hat{ACB}=\hat{AKE}` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{DEC}=\hat{AEK}`

`=>90°-\hat{DEC}=90°-\hat{AEK}`

`=>\hat{DEB}=\hat{KEB}`

`=>EB` là phân giác của `\hat{DEK}`

$\\$

Xét `\Delta ABD` và `\Delta CBK` có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{ADB}=\hat{CKB}=90°`

`=>\Delta ABD`$\backsim$ `\Delta CBK` (g-g)

`=>{AB}/{CB}={BD}/{BK}`

`=>{AB}/{DB}={BC}/{BK}`

$\\$

Xét `\Delta ABC` và `\Delta DBK` có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad {AB}/{DB}={BC}/{BK}`

`=>\Delta ABC`$\backsim $`\Delta DBK` (c-g-c)

`=>\hat{ACB}=\hat{DKB}\ (4)`

Từ `(3);(4)=>\hat{AKE}=\hat{DKB}`

`=>90°-\hat{AKE}=90°-\hat{DKB}`

`=>\hat{CKE}=\hat{CKD}`

`=>KC` là phân giác của `\hat{DKE}` 

$\\$

Xét `\DeltaDEK` có:

`EB` là phân giác của `\hat{DEK}`

`KC` là phân giác của `\hat{DKE}` 

`EB` cắt $KC$ tại $H$

`=>H` là giao điểm các đường phân giác của `\DeltaDEK`

`=>H` cách đều các cạnh của `\DeltaDEK`

(Định lý sgk toán 7: 3 đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó)