a) Ta có:

$AB;\, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C\quad (gt)$

$\to OB\perp AB;\, OC\perp AC$

$\to \widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^\circ$

$\to \widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^\circ$

$\to OBAC$ là tứ giác nội tiếp

$\to A,\, B,\, O,\, C$ cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có:

$AB;\, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C\quad (gt)$

$\to AB = AC$

Lại có: $OB = OC = R$

$\to OA$ là trung trực của $BC$

c) Ta có:

$D$ đối xứng $B$ qua $O\quad (gt)$

$\to BD$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BED}= 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\to \widehat{BED}=\widehat{BEA}=90^\circ$ (hai góc kề bù)

$\to ∆BED;\, ∆BEA$ vuông tại $A$

Ta được:

$+)\quad \dfrac{DE}{BD}=\cos\widehat{BDE}$

$+)\quad \dfrac{BE}{AB}=\cos\widehat{EBA}$

Ta lại có:

$\widehat{BDE}=\widehat{EBA}$ (cùng chắn $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\to \cos\widehat{BDE}=\cos\widehat{EBA}$

$\to \dfrac{DE}{BD}=\dfrac{BE}{AB}$

c) Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABD$ vuông tại $B$ đường cao $BE$ ta được:

$AE.AD = AB^2$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABO$ vuông tại $B$ đường cao $BH$ ta được:

$AH.AO = AB^2$

Do đó:

$AE.AD = AH.AO$

$\to \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AO}$

Xét $∆AEH$ và $∆AOD$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AO}\quad (cmt)$

Do đó $∆AEH\sim ∆AOD\, (c.g.c)$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{EDO}$

$\to EDOH$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{HED}=\widehat{BOH}$

Mặt khác:

$\widehat{CED}=\widehat{CBD}=\widehat{HBO}$ (cùng chắn $\mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Do đó:

$\widehat{HEC}=\widehat{HED} +\widehat{CED}$

$=\widehat{BOH}+\widehat{HBO}= 90^\circ$

Vậy $\widehat{HEC}=90^\circ$