Đáp án:

A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6 

Giải thích các bước giải:

 Để A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6

⇔ A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 2 và A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 3

TH1: A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 2

\(\begin{array}{l}
Xét:n = 2k \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = 2k\left( {10k + 1} \right)\left( {2k + 7} \right) \vdots 2\\
Xét:n = 2k + 1 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {2k + 1} \right)\left( {5\left( {2k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2k + 1 + 7} \right)\\
 = \left( {2k + 1} \right)\left( {10k + 6} \right)\left( {2k + 8} \right)\\
 = 2\left( {2k + 1} \right)\left( {10k + 6} \right)\left( {k + 4} \right) \vdots 2\\
Xét:n = 2k + 2 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {2k + 2} \right)\left( {5\left( {2k + 2} \right) + 1} \right)\left( {2k + 2 + 7} \right)\\
 = 2\left( {k + 1} \right)\left( {10k + 11} \right)\left( {2k + 9} \right) \vdots 2\\
 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) \vdots 2\forall n
\end{array}\)

TH2: A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 3

\(\begin{array}{l}
Xét:n = 3k \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = 3k\left( {15k + 1} \right)\left( {3k + 7} \right) \vdots 3\\
Xét:n = 3k + 1 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {3k + 1} \right)\left( {5\left( {3k + 1} \right) + 1} \right)\left( {3k + 1 + 7} \right)\\
 = \left( {3k + 1} \right)\left( {15k + 6} \right)\left( {3k + 8} \right)\\
 = 3\left( {3k + 1} \right)\left( {5k + 2} \right)\left( {3k + 8} \right) \vdots 3\\
Xét:n = 3k + 2 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) = \left( {3k + 2} \right)\left( {5\left( {3k + 2} \right) + 1} \right)\left( {3k + 2 + 7} \right)\\
 = 3\left( {k + 3} \right)\left( {3k + 3} \right)\left( {15k + 11} \right) \vdots 3\\
 \to n\left( {5n + 1} \right)\left( {n + 7} \right) \vdots 3\forall n
\end{array}\)

⇒ A=n(5n+1)(n+7) chia hết cho 6

- Để n(n+5)(n+7) chia hết cho 6 thì nó phải vừa chia hết cho 3 , vừa chia hết cho 2

+) n(n+5)(n+7) = n(n+7)(n+5)=n(n+7)

(n+1)+4n(n+7)=n(n+1)

(n+2)+5n(n+1)+4n(n+1)+24n .

Nếu để ý bạn sẽ thấy mỗi hạng tử đều là tích của 2 số liên tiếp hoặc có số chia hết cho 2 => n(n+5)(n+7) chia hết cho 2
+) n(n+5)(n+7) = (n+5)(n+6)(n+7) - 6(n+5)(n+7)

Tương tự như trên thì mỗi hạng tử ở đây là tích của 3 số liên tiếp hoặc có thừa số chia hết cho 3 => n(n+5)(n+7) chia hết cho 3

Vì (2;3)=1

Vậy n(n+5)(n+7) chia hết cho 6