Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$

$\to MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$

$\to MQ//BD; MQ=\dfrac{1}{2}BD$

Tương tự: $NP$ là đường trung bình của tam giác $CBD$

$\to NP//BD; NP=\dfrac{1}{2}BD$

Như vậy: $MQ//NP; MQ=NP$

$\to MNPQ$ là hình bình hành.

b) Ta có:

+) $MNPQ$ là hình chữ nhật

$ \Leftrightarrow MN \bot MQ$

Mà chứng minh được $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to MN//AC; MN=\dfrac{1}{2}AC$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow MN \bot MQ\\
 \Leftrightarrow AC \bot BD\left( {MN//AC;MQ//BD} \right)
\end{array}$

Vậy hình thang $ABCD$ có $AC\bot BD$ thì $MNPQ$ là hình chữ nhật.

+) $MNPQ$ là hình thoi

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow MN = MQ\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD\\
 \Leftrightarrow AC = BD
\end{array}$

Vậy hình thang $ABCD$ có $AC= BD$ thì $MNPQ$ là hình thoi.

+) $MNPQ$ là hình vuông

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow MN \bot MQ;MN = MQ\\
 \Leftrightarrow AC \bot BD;AC = BD
\end{array}$

Vậy hình thang cân $ABCD$ có $AC= BD $ thì $MNPQ$ là hình vuông.