Ta có : M = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^80

           M = 5 + 5^2 . 1+ 5^2 . 5 + ... + 5^2 . 5^78

           M = 5 + 5^2 . ( 1 + 5 + .. + 5^78 )

           M = 5 + 25 . ( 1 + 5 + .. + 5^78 )

Vì 25 chia hết cho 25 nên 25 . ( 1 + 5 + .. + 5^78 ) chia hết cho 25 , 5 chia không hết cho 25 nên M chia không hết cho 25

Lại có : M = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^80

            M = 5 . 1 + 5 . 5 + 5 . 5^2 + ... + 5 . 5^79

            M = 5 . ( 1 + 5 + 5^2 + ... + 5^79 ) Chia hết cho 5

 Ta thấy , M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên M không phải là số chính phương ( Điều phải chứng minh ) [ Do số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 35 )

Vậy , M không phải là số chính phương.

Ta có: M = 5 + 5² + 5³ + ...+ 5⁸⁰

= 5 + 5² + 5⁵ + ... + 5^{80 =} (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶) + ... + (5⁷⁹ + 5⁸⁰)

= (5 + 5²) + 5² . (5 + 5²) + ... + 5⁷⁸(5 + 5²)

= 30 + 30 . 5² + 30 . 5⁴ + ... + 30 . 5⁷⁸ = 30(1 + 5² + 5⁴ + ... + 5⁷⁸)  chia hết cho 30

Ta thấy các lũy thừa của 5 từ 5² trở đi đều chia hết cho 5 và 25

=> 5²; 5³; ...; 5⁸⁰ đều chia hết cho 5 và 25

Mà 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25

=> M chia hết cho 25 nhưng không chia hết cho 25, không phải số chính phương

Chứng tỏ M không phải số chính phương