Giải

a) Ta có: AD=BC (ABCD là hình bình hành)

mà EB=EC (E là trung điểm của BC); FA=FD ( F là trung điểm của AD )

⇒ EC=EB=FA=FD (1)

Có AD//BC (ABCD là hình bình hành) hay FD//EC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tứ giác ECDF là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cạnh đối vừa // và vừa bằng nhau) (3)

Có AB=CD (ABCD là hình bình hành) mà 2AB= BC (giả thiết)

⇒ 2CD =BC mà EB= EC (E là trung điểm của BC)

⇒ CD=EC (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Tứ giác ECDF là hình thoi ( Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau )

b) Xét tứ giác ABED có:

BE // AD ( Từ BC // AD)

⇒ Tứ giác ABED là hình thang 

Từ ABCD là hình bình hành suy ra ∠A=∠C=60° (hai góc đối)

                                                      ∠B=D ( Hai góc đối)

⇒ ∠D=∠B  = [360° - ( ∠A+ ∠C)] : 2

                  =[360° - ( 60° +60° ) ]  : 2

                  =120 °

Xét ΔEFD và ΔDCE có:

EF =CD (Tứ giác ECDF là hình thoi)

∠EFD = ∠DCE (Tứ giác ECDF là hình thoi)

FD =EC (Tứ giác ECDF là hình thoi)

⇒ ΔEFD = ΔDCE ( c.g.c)

⇒∠FED = ∠EDC (hai góc tương ứng)

Có EF // CD (Tứ giác ECDF là hình thoi) mà AB // CD (ABCD là hình bình hành)

⇒ EF // AB

⇒∠BAF =∠EFD =60° ( hai góc đồng vị )

∠AFE= 180°- ∠BAF (hai góc trong cùng phía )

         =180° - 60°

         = 120° 

Có ∠AFE =∠FEC =120°  ( hai góc so le trong)

ED là đường chéo của hình thoi ECDF 

⇒ ED là đường phân giác của góc FEC

⇒ ∠FED =∠DEC  mà ∠FEC = 120°

⇒ ∠FED =∠DEC = 60°

∠EDF = 180° - (∠EFD +∠FED ) ( Tổng 3 góc của một tam giác)

          = 180° -( 60° + 60°)

          = 60°

Hình thang ABED có hai góc kề một đáy bằng nhau:

∠A =∠EDF =60°

⇒ Tứ giác  ABED là hình thang cân

c) Ta có: 2AB= BC (giả thiết ) mà EB=EC (E là trung điểm của BC)

⇒ AB =EB (5)

Có EF= FD (Tứ giác ECDF là hình thoi) mà FD=FA ( F là trung điểm của AD )

⇒ EF = FA (6)

Từ (1), (5) và (6) suy ra: 

Tứ giác ABEF là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)

Hình thoi ABEF có AE là  đường chéo 

⇒AE là đường phân giác của góc BEF và góc BAF ( ∠BEF = ∠BAF do tứ giác ABEF là hình thoi)

⇒ ∠AEF =∠AEB=∠EAB=∠EAFF  mà ∠BEF = ∠BAF= 60° (Tứ giác ABEF là hình thoi)

⇒∠AEF = 30° 

Có ∠AED = ∠AEF + ∠FED

               =30° + 60°

                = 90°