Đáp án:

 Bổ sung điều kiện $a;b;c>0$

Giải thích các bước giải:

 Câu 2

$\dfrac{a}{bc}+$$\dfrac{b}{ac}+$$\dfrac{c}{ab}≥$$\dfrac{1}{a}+$$\dfrac{1}{b}+$$\dfrac{1}{c}$

⇔$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}≥$$\dfrac{ac+bc+ab}{abc}$

⇔$a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc$

⇔$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc≥0$

⇔$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0(luôn đúng)$

câu 1

$(1+\dfrac{a}{b}).$$(1+\dfrac{b}{c}).$$(1+\dfrac{c}{a})$

áp dụng cô -si cho các số dương

⇒$(1+\dfrac{a}{b}).$$(1+\dfrac{b}{c}).$$(1+\dfrac{c}{a})≥$

$2\sqrt[]{\dfrac{a}{b}}$.$2\sqrt[]{\dfrac{b}{c}}.$ $2\sqrt[]{\dfrac{c}{a}}$ 

        =$8\sqrt[]{\dfrac{abc}{abc}}=8$ 

⇒$(1+\dfrac{a}{b}).$$(1+\dfrac{b}{c}).$$(1+\dfrac{c}{a})≥8$

lớp 10 học kiểu này sao ạ?

$\begin{array}{l}\text{Bạn bổ sung điều kiện a, b, c>0 cho cả ý a) và b)}\\a,\\\text{Áp dụng BĐT cô-si cho các số dương:}\\1+\dfrac{a}{b}\ge 2\sqrt{1\times \dfrac{a}{b}}=2\sqrt{\dfrac{a}{b}} \ \ \ (1)\\\text{Tương tự:}\\1+\dfrac{b}{c}\ge 2\sqrt{\dfrac{b}{c}} \ \ \ (2)\\1+\dfrac{c}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{c}{a}} \ \ \ (3)\\\text{Nhân vế với vế của (1), (2) và (3), ta có:}\\(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a})\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\times 2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\times 2\sqrt{\dfrac{c}{a}}=8\sqrt{\dfrac{abc}{abc}}=8\\\text{Đẳng thức xảy ra} \ \leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=1\\\leftrightarrow a=b=c\\\text{Vậy BĐT được chứng minh.}\\b,\\\text{Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương}\\\text{Ta có:}\\\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\\leftrightarrow \dfrac{a^2}{abc}+\dfrac{b^2}{abc}+\dfrac{c^2}{abc}\ge \dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ca}{abc}+\dfrac{ab}{abc}\\\leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{abc}\\\leftrightarrow \dfrac{2a^2+2b^2+2c^2}{abc}\ge \dfrac{2ab+2bc+2ca}{abc}\\\leftrightarrow \dfrac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca}{abc}\ge0\\\leftrightarrow \dfrac{(a-c)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{abc} \ge0 \ \ (*)\\\text{Vì} \ a,b,c>0 \to abc>0\\\text{Do đó BĐT (*) đúng}\\\text{Đẳng thức xảy ra} \ \leftrightarrow a=b=c\\\text{Vậy BĐT được chứng minh}\end{array}$