`a)` Ta có : `ΔBAD=ΔBED(ch-gn)`

`BA=BE` ( tương ứng ) 

Vậy `B` cách đều `2` điểm của đoạn thẳng `AE`

`=>BD` là trung trực `AE`

`b)` Từ `a)` ta có : `ΔBAD=ΔBED`

`=>AD=ED` ( tương ứng )

Vậy ta có `ΔADF=ΔEDC(cgv-gnh)`

`=>DF=DC` ( tương ứng )

`c)` Trong `Δ⊥ADF` có `AD<DF(` vì `FD` là cạnh huyền và cạnh lớn nhất trong `Δ⊥)`

Mà theo câu `b)` ta có : `DF=DC`

nên `AD<DC`

`d)` Vì `ΔADF=ΔEDC`(c/m câu`b)

`=>AF=EC`( cặp cạnh tương ứng `)`

Ta có : `BF=BA+AF;BC=BE+EC`

mà `BA=BE;AF=AC` ( đã c/m ) 

`=>BF=BC`

`=>ΔBFC` cân tại `B`

mặc khác ta có : `BA=BE` ( c/m câu`a)`

`=>ΔABE` cân tại `B`

Xét `ΔBCF` và `ΔABE` cân tại `B` có : 

`hat{BAE}=(180^0-hat{ABE})/2;hat{BFC}(180^0-hat{FBC})/2`

`=>hat{BAE}=hat{BFC}`

`=>AE//FC(` do `1` cặp góc `=` nhau ở vị trí đồng vị`)(đpcm)`

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta EBD$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ vì $BD$ là phân giác $\hat B$

Chung $BD$

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}(=90^o)$

$\to \Delta ABD=\Delta EBD$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BA=BE, DA=DE$

$\to B, D\in$ trung trực $AE$

$\to BD$ là trung trực $AE$

b.Xét $\Delta DEC,\Delta DAF$ có:

$\widehat{EDC}=\widehat{ADF}$(đối đỉnh)

$DE=DA$

$\widehat{DEC}=\widehat{DAF}(=90^o)$

$\to \Delta DEC=\Delta DAF(g.c.g)$

$\to DC=DF$

c.Ta có: $DE\perp BC\to DE<DC$

Mà $DA=DE\to DA<DC$

d.Từ câu b $\to AF=CE\to BF=BA+AF=BE+EC=BC$

$\to \Delta BCF$ cân tại $B$

Lại có: $\Delta BAE$ cân tại $B$

$\to \widehat{BAE}=90^o-\dfrac12\widehat{ABE}=90^o-\dfrac12\widehat{FBC}=\widehat{BFC}$

$\to AE//CF$