Đáp án:

a)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\widehat{BDA}=\widehat{CEA}=90^0$

$\widehat{A}$ chung

$AB=AC$ (gt)

$\Rightarrow \triangle ABD=\triangle ACE$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow BD=CE$

b)

Do $\triangle ABD=\triangle ACE$ (cmt)

$\Rightarrow AD=AE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: 

$AE+BE=AB$

$AD+DC=AC$

mà $AB=AC$ (gt); $AD=AE$ (cmt) 

$\Rightarrow BE=DC$

Xét $\triangle ODC$ và $\triangle OEB$ có:

$\widehat{ODC}=\widehat{OEB}=90^0$

$DC=BE$ (cmt)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ODC=\triangle OEB$ (g.c.g)

c)

Do $\triangle ODC=\triangle OEB$  (cmt)

$\Rightarrow OC=OB$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle ABO$ và $\triangle ACO$ có

$AB=AC$ (gt)

$AO$ chung

$OB=OC$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABO=\triangle ACO$ (c.c.c)

$\Rightarrow  \widehat{BAO}=\widehat{CAO}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow OA$ là phân giác của góc $\widehat{BAC}$

d)

Xét $\triangle ABC$ có $AB=AC$

$\Rightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$

mà $OA$  là phân giác của góc $\widehat{BAC}$ 

$\Rightarrow OA$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow OA\bot BC$